1、空间向量的基本定理 庄河高中数学组 李天作 1、平行向量基本定理 复习 对于任意两个向量 ，则向量 与共线的充要条件是存在实数 ,使得 a( 0)a b a ， bl bal=2.平面向量基本定理 如果 是平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1,2，使得 12,eea1 1 2 2a e ell=+这表明 :平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线 向量 线性表示 . 我们把不共线的两个向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 . 12,ee新定义 共面向量 ： /./aaa向 量 平 行 于 平如 果 向 量 在 平 面 内 或 平 行 于 ，称
2、 ， 记 作平 行 于 同 一 平 面 的 向 量 ， 叫 做的 基 线共 面 向 量面aa对于两个不共线向量 ,则向量 与向量 共面的充要条件是存在 唯一 的实数对 (x,y),使得 ,ab c ,ab3.共面向量定理 c x a y b=+共面向量也称线性相关。 我们怎样表示空间向量中的任一向量呢 ? (1)两个不共线向量能否表示空间任一向量 ? 通过 平面向量基本定理 来类似地推出 空间向量基本定理 .猜想 :空间向量基本定理的内容是什么 ? (2)空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗 ? 空间向量分解定理 : 建构数学 : , , ( , , )abcp x y z如 果 三
3、个 向 量 不 共 面 ， 那 么 对 空 间 任 一向 量 ， 的 有 序 实 数 组 ， 使存 在 惟 一p x a y b z c= + +如果三个向量 不共面 ,那么对空间任一向量 ,存在唯一有序实数组 (x,y,z),使得 O A P A C B B P 证明 :（ 1）先证 存在性 ，作过空间一点是三个不共面的向量，设pOPeOCeOBeOAOeee321321过点 P作直线 PP OC，交平面 OAB于点 P； 在平面 OAB内，过点 P作直线PA OB， PB OA，分别 交直线 OA， OB于点 A， B. 空间向量分解定理 : 321 ezeyexp 1 2 3,e e e
4、p存在实数则 (x,y,z),使 ,1OA x OA x e , 2O B y O B y e, 3O C z O C z e 1 2 3p x e y e z e C (2)再证 惟一性 用反证法 2.假设存在实数组 , 使 2 1 2 2 2 3 ,p x e y e z e= + +1 2 3xe y e z e+所以 2xx2 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) 0x x e y y e z z e- + - + - =即 因 2 1 2 2 2 3x e y e z e= + +221 2 322y y z ze e ex x x x-= - -1 2 3,e e e从而 共面
5、 , 这与 1 2 3,e e e不共面矛盾 , 所以有序实数组 (x,y,z)惟一 . 2 2 2( , , )x y z 2xx空间向量分解定理 : 建构数学 (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 . 1 2 3 1 2 3 , , , ,e e e e e e基 底 - - - 基 向 量，使的有序实数组，那么对空间任一向量不共面，如果三个向量),(, 321zyxpeee 存在唯一321 ezeyexp 强调：对于基底 1 2 3 , , e e e1 2 31 ,e e e（ ) 不共 面1 2 3,3 0e e e（ ） 中 能否 有 ?(4) 基底指一个向量组，
6、基向量是指基底中的某一个向量 ,二者是 相关联的不同概念 。 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直 ,那么这个基底叫 正交基底 . 特别地 ， 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时 ,称为 单位正交基底 ， 通常用 ,i j k建构数学 : 1.可以根据空间向量的基本定理 确定空间任意一点的位 置 。这样，就建立了 空间任意一点 与惟一的 有序实数组（ x、 y、 z） 之间的关系，从而为空间向量的坐标运算作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 2.推论中若 x+y+z=1，则必有 P、 A、 B、 C四点共面 . O A B C P,( x y z )O P x O A y
7、 O B z O C推 论 ： 设 、 、 、 是 不共 面 的四点， 则 对 空 间 任一 点都存 在 唯一 的有序 实 数 组 ， ， ，使 得 推论说明： 数学运用 ？构成空间的另一个基底以与向量中选哪个向量，一定可是空间的一个基底，从、已知向量例baqbapcbacba ,1有什么关系？那么点构成空间的一个基底不为空间四点，且向量、判断：CBAOOCOBOACBAO,21, abab、 如 果 与 任 何 向 量 都 不 能 构 成 空 间 的 一 个 基 底 ，则 与 有 什 么 关 系 ？练习 共线 共面 c c a b a b c a b向 量 ， 因 为 如 果 与 ， 共 面 ， 那 么 与 ， 共 面 ， 这 与 已 知 矛 盾 。
