1、1.3 中国古代数学中的算法案例,第一章 算法初步,辗转相除法与更相减损术,第一课时,思考：,小学学过的求两个数的最大公约数的方法？,先用两个数公有的质因数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,例：求下面两个正整数的最大公约数：,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？,例：如何算出8251和6105的最大公约数？,新课讲解：,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的
2、数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例）,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,完整的过程,8251=61051
3、+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m = n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m = n,n = r,r=0?,是,否,思考：辗转相除法
4、中的关键步骤是哪种逻辑结构？,思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？,(1)算法步骤：,第一步：输入两个正整数m ,n (mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.,(2)程序框图：,开始,输入m,n,r=m MOD n,m=n,r=0?,是,否,n=r,输出m,结束,(3)程序：,INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，
5、求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（1）九章算术中的更相减损术：,1、背景介绍：,（2）现代数学中的更相减损术：,2、定义：,所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,例: 用更相减损术求98与63的最大公
6、约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217211477,所以，98和63的最大公约数等于7,3、方法：,1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数,练习：,思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。,2、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,(1)算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b;第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差
7、赋予r;第四步：如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a；返回第二步；第五步：输出最大公约数b.,思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,(2)程序框图,(3)程序,INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND,小结,比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转
8、相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,秦九韶算法,第二课时,问题提出,1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.,2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.,秦九韶算法,知识探究(一):秦九韶算法的基本思想,思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？,4+3+2+1=10次乘
9、法运算， 5次加法运算.,思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，再将这些数与x和1相加，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？,4次乘法运算，5次加法运算.,思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 =(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.
10、,思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？,第一步，计算v1=anx+an-1.,第二步，计算v2=v1x+an-2.,第三步，计算v3=v2x+an-3. ,第n步，计算vn=vn-1x+a0.,思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？,思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？,vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n),知识探究(二):秦九韶算法的程序设计,
11、思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？,第一步，输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值.,第二步，令v=an，i=n-1.,第三步，输入i次项的系数ai.,第四步，v=vx+ai，i=i-1.,第五步，判断i0是否成立.若是，则返回第二步；否则，输出多项式的值v.,思考2:该算法的程序框图如何表示？,思考3:该程序框图对应的程序如何表述？,INPUT “n=”；n,INPUT “an=”；a,INPUT “x=”；x,v=a,i=n-1,WHILE i=0,INPUT “ai=”；b,v=v*x+b,i=i-1,WEND,PRINT y,E
12、ND,理论迁移,例1 已知一个5次多项式为f(x)=5 5 +2 4 +3.5 3 2.6 2 +1.70.8,用秦九韶算法求f(5)的值.,f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.,v1=55+2=27；,v2=275+3.5=138.5；,v3=138.55-2.6=689.9；,v4=689.95+1.7=3451.2；,v5=3451.25-0.8=17255.2.,所以f(5)= =17255.2.,进位制,第三课时,一、进位制,阅读P33，思考以下问题：,1、什么是进位制？,2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明,1、我们了
13、解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？,十进制由两个部分构成,例如：3721,其它进位制的数又是如何的呢？,第一、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字；,第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。,2、 二进制,十进制是用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数来描述的，二进制是用0、1两个数字来描述的。如11001等,（）二进制的表示方法,区分的写法：11001（2）或者（11001）2,二、二进制与十进制的转换,1、二进制数转化为十进制数,例1 将二进制数110011(2)化成十进制数,解：,根据进位制的定义可知,所以，110011（2）=51。,练
14、习,将下面的二进制数化为十进制数？,（1）11,（2）111,（3）1111,（4）11111,2、十进制转换为二进制,例2 把89化为二进制数,解：,根据“逢二进一”的原则，有,892441,442220,222110,11251,5221,892（2（2（2（2（2 （ 2 1 0 ）1）1）0）0）1,89126025124123022021120,结合“秦九韶算法”得：,所以：89=1011001（2）,2、十进制转换为二进制,例2 把89化为二进制数,5,2,2,2,1,2,0,1,0,余数,11,22,48,89,2,2,2,2,0,1,1,0,1,将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）,练习,将下面的十进制数化为二进制数？,（1）10,（2）20,（3）128,（4）256,例3 把89化为五进制数,3、十进制转换为其它进制,解：,根据除k取余法,以5作为除数，相应的除法算式为：,所以，89=324（5）。,小结与作业,2、掌握二进制与十进制 之间的转换,1、进位制的概念,
