1、第2讲导数在研究函数中的应用,考试要求1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求；3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；4.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求,知 识 梳 理1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内 (2)若f(x)0,f(x)0,f(x)0,3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲
2、线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的 将函数yf(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值， 的一个是最小值,连续不断,极值,端点处的函数值f(a)，f(b),最小,诊 断 自 测1思考辨析(在括号中打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件( )(2)函数的极大值不一定比极小值大( )(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( ),2.(2015北京海淀区模拟)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_答案(
3、0,1),3(苏教版选修22P34T8(2)改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.答案2,4如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为_解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号左负右正答案1,5(2014新课标全国卷改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_答案1，),考点一利用导数研究函数单调性【例1】 已知f(x)ln xax.(1)讨论f(x)的单调性；(
4、2)若f(x)在(1,2)上单调递减，求实数a的范围,规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到,考点二利用导数求函数的极值【例2】 (2013重庆卷)设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值,规律方法利用导数研究函数极值的一般步骤
5、：(1)确定定义域；(2)求导数f(x)；(3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左右侧值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解,【训练2】 设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围,规律方法(1)不含参数求f(x)在a，b上的最值时，只需把f(x)的极值与端点函数值进行比较其中最大的是最大值，最小的是最小值(2)含参数时，应注意讨论f(x)在相应区间上的单调性，进
6、而求最值,【训练3】 已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值 解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，),(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0
7、,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.,思想方法1最值与极值的区别与联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有,2求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按一定标准讨论参数3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较,易错防范1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,
