1、第二章 圆锥曲线与方程,2.4.1 抛物线及其标准方程,喷泉,拱桥,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （定点F不在定直线l 上） 点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。,（一）抛物线的定义,想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?,一条经过点F且垂直于l 的直线,想一想：求抛物线方程时该如何建立直角坐标系？,（二）抛物线的标准方程,如图所示，以经过点F且垂直于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O，则O是线段KF的中点，以O为原点,建立直角坐标系。,y,O,K,设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为
2、d=|MN|,想一想：p的几何意义？,求抛物线的方程,为什么？,由抛物线的定义，,化简后得 :,抛物线的标准方程为,它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,坐标是 ，准线方程是,注意：抛物线标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？,y,o,x,四种抛物线的标准方程对比,想一想：,如何判断上表中抛物线四种标准方程与图象的对应关系？,第一：一次项变量决定对称轴。第二：一次项系数的正负决定了开口方向。,说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图象就随之确定，根据
3、图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由形到数的数形结合思想。,（三）例题讲解,例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。,解:(1)由方程可知,焦点在x轴正半轴上，坐标为 ，2p=6，所以焦点坐标是 ，准线方程是 .,(2) 抛物线焦点坐标为F(0,-2)， 抛物线焦点在y轴负半轴上，设标准方程为x2=-2py,并且 2p=8， 抛物线的标准方程为x2=-8y.,变式训练,1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是（0，-3） ；(2)准线是 ；2.求下列抛物线的
4、焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2 ；(2)x2+8y=0；,x2= -12y,y2=2x,焦点 ，准线,焦点 ，准线,感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。,感悟：用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式，再求p值。,强化提高,根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。,关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式,关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线,解：焦点到准线的距离为2 p=2 又焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px ， x2=2py 此抛物线的标准
5、方程有四种情况： y2=4x ， x2=4y,解：标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上； 又抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上， 焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，3）， 焦点坐标为（4，0）或（0，3）； 当焦点为（4，0）时标准方程为y2=16x , 当焦点为（0，3）时标准方程为x2= 12y , 综上，抛物线标准方程为 y2=16x或 x2= 12y,（四）课堂小结,平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一个定义：,两类问题：,三项注意：,四种形式：,求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。,定义的前提条件：直线l 不经过点F; p的几何意义：焦点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0),
