1、,主题1：方差和标准差的计算随机变量的方差、标准差与均值的分析（1）随机变量的均值与方差都是随机变量的特征数（或数字特征），是对随机变量的一种简单有效的描述.均值表示随机变量一切可能取值的平均值或集中位置，方差表示随机变量一切可能值的集中与离散程度、稳定与波动的程度.,（2）随机变量X的方差D（X）与标准差 都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D（X）越小，稳定性越高，波动越小；显然有D（X）0，标准差与随机变量本身有相同的单位.,（3）随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是一个随机变量，它随样本的不同而
2、不同；对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差就越来越接近于总体方差.,例1已知随机变量X的分布列是（1）求方差和标准差；（2）设随机变量Y-5X+E（X），求D（Y）的值.【思路点拨】（1）先求出均值，再计算方差，从而求出标准差；（2）注意符号E（X）是常数，根据方差的性质公式计算D（Y）.,【规范解答】（1）（2）D（Y）D（-5X+E（X）25D（X）即D（Y）的值是,（1）已知分布列求离散型随机变量的方差时,首先计算随机变量的均值,然后代入方差公式进行计算；（2）在已知（或求出）随机变量的均值后，可以分别计算或利用方差的性质计算（如D（aX+b）=a2D（X），这样可以避免繁杂
3、的式子，简化运算.,1.设随机变量X的分布列是则E（X），D（X）=.,【解析】由分布列的性质得：q2+(1-2q)+=1，解得又因为0q21，01-2q1，所以，所以所以答案：,2.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3件进行检验，且取出后就不再放回，若以X表示取出的正品的个数，则E（X），D（X）.【解析】随机变量X的可能取值是1，2，3，则,所以随机变量X的分布列是所以所以答案:,主题2：两点分布、二项分布的方差两点分布与二项分布的方差(1)若X服从两点分布，则D（X）p（1-p）.(2)投篮、射击、抽样（大样本）等问题，由于是n次独立重复试验，发生的次数X服从二项分布可以利用二项分
4、布的均值、方差的计算公式进行计算，即E（X）=np，D（X）=np(1-p).,例2某运动员投篮命中率为0.8.（1）求该运动员投篮一次时，命中次数X的方差；（2）求重复投篮5次（假设各次投篮互不影响）时，命中次数Y的标准差.【思路点拨】（1）根据题意为两点分布；（2）本小题是独立重复试验，随机变量服从二项分布，根据有关公式计算即可.,【规范解答】（1）投篮一次命中次数X的分布列是则E（X）00.2+10.8=0.8，所以D（X）=(0-0.8)2 0.2+(1-0.8)20.8=0.128+0.032=0.16;或随机变量X服从两点分布，所以D（X）=0.8(10.8)=0.16；,（2）根
5、据题意5次投篮为5次独立重复试验，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5，0.8)，所以D（Y）=50.8(1-0.8)=0.8，故,（1）首先判断随机变量X是否服从两点分布或二项分布；（2）若随机变量X服从两点分布或二项分布，则根据相应的计算公式计算.,1.已知随机变量XB(3, )，则E（X），D（X）的值分别是( )【解析】选D.因为XB(3,)，所以E（X）=3=，D（X）=3(1-)=.,2.已知随机变量X的分布列是x则X的标准差是.,【解析】因为0.4+0.1+x=1，所以x=0.5，则E（X）=10.4+30.1+50.5=3.2,所以D（X）=(1-3.2)20.4+(3-3.2
6、)20.1+(5-3.2)20.5=3.56.因此答案:,主题3： 方差的实际应用方差的实际应用因为方差反映了随机变量X的取值的稳定与波动、集中与离散的程度，所以在实际中常借助于方差的这一性质来判断成绩的好坏、水平的高低、投资与收益的关系等.,例3 为了防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了4株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 ,设为成活沙柳的株数,求的方差及标准差.,【思路点拨】 【规范解答】方法一：由题意的所有可能取值为0,1,2,3,4,且,方法二:由题意B（4, ）,D（）=4（1-）=1,求实际问题的方差的一般步骤：（1）把实际问题转化
7、为随机变量的模型；（2）确定实际问题中的随机变量X的意义，写出随机变量X的所有取值；（3）求出取各个值时的概率，写出随机变量X的分布列；（4）利用方差的计算公式计算D（X）或,1.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D（X）.【解析】根据题意可知XB（10，），所以D（X）10(1-)=.答案:,2.从学校乘车到火车站有3个交通岗.假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 ，设为途中遇到红灯的次数，则随机变量的方差是.【解析】根据题意可知随机变量服从二项分布，且B(3,)，所以D（）=np(1-p)=3(1-)=.答案:,例 甲、乙两名射手在一次射击
8、中的得分是两个随机变量，分别记为X1和X2，它们的分布列分别为【思路点拨】,【规范解答】由分布列的性质可得：由上述计算知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲.,均值与方差的综合应用均值体现了随机变量取值的平均大小，在有些问题的判断中，仅知道均值的大小还不够，如果两个随机变量的均值相等，则还需要判断两个随机变量的方差（或标准差）的大小，方差大说明随机变量的取值较分散，波动大；反之，则说明随机变量的取值较集中、稳定.因此，在判断一些实际问题的优劣时，通常是既要比较均值的大小，又要比较方差的大小.,1.有甲、乙两名射手，他们的射击技术用下表表示：试问哪一名射手技术较好？( )（A）甲 （B）乙 （C）一样好 （D）无法比较,【解析】选A.由题意经计算可知E（X）甲E（X）乙，而D（X）甲D（2）,所以两个保护区内每季度发生的违规事件的平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.故甲保护区的管理水平较高.答案：甲,Thank you!,
