1、2.2 直线平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定,1.了解直线与平面的位置关系,并学会用符号和图形来表示它们.2.了解直线与平面平行的定义,并掌握直线与平面平行的判定定理,会用符号语言和图形语言来描述它们.3.结合具体问题体会化归与转化的数学思想,重视空间与平面的相互转化.,1.定义 如果一条直线和一个平面没有公共点,那么就说这条直线和这个平面平行.表示式:a与没有公共点_.2.判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面_.表示式:,a,平行,1.直线与平面平行的判定方法主要有:(1)利用定义:证直线与平面无公共点(需用反证法).(2)利
2、用直线和平面平行的判定定理,即线线平行线面平行.(3)利用平面与平面平行,得到直线与平面平行.即若,a,则a.,2.“平行于同一平面的两直线平行”对吗?如下图所示,显然正方体AC中下底面的三条棱a、b、c都平行于上底面,侧面上的直线d也平行于,但ac,ab于A,a与d异面.即平行于同一平面的两条直线相交平行异面的各种关系都可能出现.,3.“若平面外的一条直线与平面平行,那么它和平面内的所有直线平行”对吗?不对.若平面外一直线和已知平面平行,则在这个平面内可以找到无数条互相平行的直线与平面外的这条直线平行,但不是平面内的所有直线与它平行.如上图所示,b,但b BC.,题型一 直线平面的位置关系例
3、1:对于不重合的两条直线m、n和平面,下列命题中的真命题是( ),解析:如图所示,在长方体AC1中,设平面ABCD为,AB为m,CC1为n,易知n与相交,A错;若B1C1为n,则有n,C错;记A1B1为m,B1C1为n,则m与n相交,D错.排除ACD,故 B正确.答案:B 规律技巧:此类题目属于位置关系的判定题,并且用符号语言表示,是高考考查立体几何的主要形式.其解题策略是借助长方体等作为模型,利用排除法求解.,变式训练1:在正方体ABCDA1B1C1D1中与平面D1AC不平行的是( )A.A1B B.BB1C.BC1D.A1C1答案:B,题型二 直线和平面平行的判定例2:正方体ABCD-A1
4、B1C1D1中,EG分别是BCC1D1的中点,如下图.求证:EG平面BB1D1D.,分析:要证明EG平面BB1D1D,根据线面平行的判定定理,需要在平面BB1D1D内找到与EG平行的直线,要充分借助于EG为中点这一条件.,证明:取BD的中点F,连结EFD1F.E为BC的中点,EF为BCD的中位线,则EFDC,且.G为C1D1的中点,D1GCD且,EFD1G且EF=D1G,四边形EFD1G为平行四边形,D1FEG,而D1F平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,EG平面BDD1B1.,规律技巧:在证明直线与平面平行的问题中,关键是寻找面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形三角形中位线平行公理
5、等.,变式训练2:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,SEG分别是B1D1BCSC的中点,求证:直线EG平面BDD1B1.,证明:如图所示,连结SB.EG分别是BCSC的中点,EGSB.又,直线EG平面BDD1B1.,例3:正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AEBD上各有一点PQ,且AP=DQ.求证:PQ平面BCE.分析:解法1:证明线面平行,可用线面平行的判定定理.,证明:如图所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,连结MN. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,AE=BD.又AP=DQ,PE=QB.又PMABQN,PM QN.PQMN.,解法
6、2:线面平行可以转化为线线平行,而线线平行可通过“线段对应成比例”得到.连结AQ并延长交BC于K,连结EK,只需证出即可.,证明:如图所示,由ADBC,AKBD=Q知,ADQKBQ,另一方面,由题设知,AE=BD,且AP=DQ.PE=QB,PQEK.又PQ 平面BCE,EK平面BCE.PQ平面BCE.,变式训练3:如图,在三棱锥PABC中,点OD分别是ACPC的中点.求证:OD平面PAB.,证明:在ACP中,O为AC的中点,D为PC的中点,ODAP.OD平面PAB.,易错探究,例4:以下命题(其中a,b表示直线,表示平面).若ab,b,则a;若a,b,则ab;若ab,b,则a;若a,b,则ab
7、.其中错误命题的序号是_.错解:错因分析:对线面平行的判定定理理解不透,线面位置关系不清楚,分析不到位.,正解:命题中,a还可能在平面内;中直线a,b还有可能相交或异面;中a也有可能在平面内;中a与b也可能异面,所以4个命题都是错误的.答案:,基础强化1.若直线m不平行于平面,且m,则下列结论成立的是( )A.内所有直线与m异面B.内存在唯一的直线与m平行C.内的直线与m相交D.内不存在与m平行的直线答案:D,2.如果平面外一条直线上有两点到这个平面的距离相等.那么这条直线与这个平面的位置关系是( )A.平行 B.相交C.平行或相交D.以上都不对答案:C,答案:C3.设AB,BC,CD是不在同
8、一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.AC在此平面内解析:画一个空间四边形.易知选A.答案:A,4.如果两直线ab,且a平面,则b与的位置关系( )A.相交B.b,答案:D,5.已知直线ab,a平面,则直线b与平面的位置关系是( )A.bB.bC.b与相交D.以上都有可能,答案:D,6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为A1B1的中点,则直线AE与平面BB1D1D的位置关系是_.,相交,7.经过两条异面直线ab之外的一点P,可作_个平面与ab都平行.,1,8.已知EFGM分别是四面体的棱ADCDBDBC的中点.求证:A
9、M平面EFG.,证明:如右图所示,连结MD交GF于N,连结EN.GF为BCD的中位线,N为MD的中点.EN为AMD的中位线.ENAM.AM平面EFG,EN平面EFG,AM平面EFG.,能力提升,9.如下图在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E是PD的中点,求证:PB平面AEC.,证明:连结BD与AC相交于O,连结EO,ABCD为平行四边形,O是BD的中点,又E为PD的中点,EOPB.,10.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,EFPQ分别是BCC1D1AD1BD的中点.(1)求证:PQ平面DCC1D1;(2)求PQ的长;(3)求证:EF平面BB1D1D.,解:(1
10、)证明:连结D1C,PQ分别为AD1AC的中点,PQ PQ面DCC1D1.(2),(3)证明:取B1D1的中点Q1,连结Q1FQ1B,F为D1C1的中点,Q1F BE.四边形Q1FEB为平行四边形,EFQ1B,EF面BB1D1D.,11.(重庆高考)若P是平面外一点,则下列命题正确的是( )A.过P只能作一条直线与相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行解析:过点P只能作一条直线与平面垂直,可以作无数条直线与相交,可以作无数条直线与平行.因此,A、B、C均错,D正确.答案:D,12.(天津高考)如图所示,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,EF,求证:FO平面CDE.,证明:取CD的中点M,连结OM,EM,则OM 又EFOM EF.四边形OMEF为平行四边形,FOME.FO 平面CDE,ME平面CDE,FO平面CDE.,
