1、空间点、直线、平面之间的位置关系 【 知识目标 】 1、理解并掌握四个公理及三个推论 ； 2、理解异面直线的概念，并会求异面直线所成角； 3、了解直线与平面位置关系、平面与平面位置关系 ； 【 学习目标 】 1、能够运用几何语言表示线面位置关系、面面位置关系 ； 2、根据题意能够想象出空间几何图形，判断出线面位置关系、面面位置关系。 【 要点突破 】 例 1 、 如图所示，正方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1中， M 、 N 分别是 A 1 B 1 、 B 1C 1 的中点问： ( 1 ) AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； ( 2 ) D 1B 和 CC 1 是否是
2、异面直线？说明理由 【 答案 】 ( 1 ) 不是异面直线理由如下：连接 MN 、 A 1C 1 、AC . MN A 1 C 1 . A 1 A C C 1 为平行四边形， A 、 M 、 N 、 C 在同一平面内，故AM 和 CN 不是异面直线 M 、 N 分别 是 A 1 B 1 、 B 1 C 1 的中点， 又 A 1 A / C 1 C ， A 1 C 1 AC ， MN AC ， 【 解析 】 ( 1 ) 证明直线异面通常用反证法； ( 2 ) 证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等 (2) 是异面直线证明如下： ABCD A 1 B 1C 1 D 1 是正方体， B
3、 、 C 、 C 1、 D 1 不共面 假设 D 1B 与 CC 1 不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B 平面 ， CC 1平面 ， D 1 、 B 、 C 、 C 1 ，与 AB CD A 1 B 1 C 1D 1是正方体矛盾 假设不成立，即 D 1 B 与 CC 1 是异面直线 例 2、在正方体 AC1中， M,N分别是 A1A和 B1B的中点，求异面直线 A1M和 D1N所成的角？ M A B D C A1 B1 D1 C1 【 解析 】 恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。 【 答案 】 如图，连 B1D1与 A1C1 交于 O1， 于是 A1O1M就是异面直线
4、 A1C1与 BD1所成的角（或其补角） O1 M D B 1 A 1 D 1 C 1 A C B 1111/B B M O MO M D B取 的 中 点 ， 连则115c os ,5A O M 解法二： 方法归纳： 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 F1 E F E1 B D B 1 A 1 D 1 C 1 A C 连结 A1E， C1E，则 A1C1E 为 A1C1与 BD1所成的角 (或补角 )， 3,52,5 1111 ECEACA在 A1C1E中， 由余弦定理得 55c o s11 ECAA1C1与 BD1所成角
5、的余弦值为 如图，补一个与原长方体全 等的并与原长方体有公共面 F1 E F E1 B D B 1 A 1 D 1 C 1 A C BC1的长方体 B1F， 55例 3 、 下列命题中： 若 A ，B ， C AB ，则 C ； 若 l ， b ，c ， b c A ， 则 A l ； 若 A 、 B 、 C ， A 、 B 、C 且 A 、 B 、 C 不共线，则 与 重合； 任意三点不共线的四点必共面 其中真命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 【 解析 】 可借助于空间几何体， 结合 四个公理和三个推论 判断线线、线面位置关系 。 根据公理 1 知 正确 ； 由公理 3
6、可知 正确 ； 根据公理 2 可知 正确；任意画出一个空间四边形，可知 不正确 选 D 【 答案 】 D 【 知识归纳 】 1、平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理 2：经过 不在同一条直线上 的三点 ,有且只有一个平面 (即可以确定一个平面 ) 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条 通过这个点的公共直线 2、直线与直线的位置关系 （ 1）位置关系的分类 平 行共 面 直 线相 交异 面 直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内的 直 线异 面 直 线 所 成 角定 义 ： 设 是 两
7、 条 异 面 直 线 ， 经 过 a , b【 对点巩固 】 1 如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 中M 、 N 分别是棱 CD 、 CC 1 的中点，则异面直线 A 1 M 与 DN 所成的角的大小是 _ _ _ _ _ _ _ _ ,.0 .32.44a a b b ab 空 间 任 一 点 作 直 线 把 与所 成 的 锐 角 （ 或 直 角 ） 叫 做 异 面 直 线所 成 的 角 （ 或 夹 角 ）范 围 ： ， 、 直 线 与 平 面 的 位 置 关系 有 相 交 、 平 行 、 在 平 面 内 三 种 情 况、 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 有 平 行 、
8、 相交 两 种 情 况 .5 、 公 理 ： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直线 互 相 平 行 .6 、 定 理 ： 空 间 中 如 果 两 个 角 的 两 边 分别 对 应 平 行 ， 那 么 这 两 个 角 相 等 或 互 补 .O a, b【 解析 】 本题考查异面直线所成角 . 平移法找出异面直线所成角 . 如图，取 CN的中点 K ，连接 MK ，则 MK 为 C D N 的中位线，所以 M K D N . 所以 A1MK 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角 连接 A1C1， AM . 设正方体棱长为 4 ， 则 A1K 22 32 41 ， MK 12DN 12
9、42 22 5 ， A1M 42 42 22 6 ， A1M2 MK2 A1K2， A1MK 9 0. 【 答案 】 90 2 直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， 若 BA C 90 ， AB AC AA 1 ， 则异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的 角等于 ( ) A 30 B 4 5 C 60 D 90 【 解析 】 本题考查异面直线所成角 .采用补形法求解 . 如图，可补成一 个正方体， AC 1 BD 1 . BA 1 与 AC 1 所成角的大小为 A 1 BD 1 . 又易知 A 1 BD 1 为正三角形， A 1 BD 1 6 0. 即 BA 1 与 AC 1 成 6
10、0 的角 【 答案 】 C . 3 . 如图，正方体 A B C D A1B1C1D1 中， M 、 N 分别为棱 C1D1、 C1C 的 中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 注：把你认为正确的结论的序号都填上 ) 【解析】 本题考查异面直线所成角 . 直线 AM 与 CC 1 是异面直线， 直线 AM 与 BN 也是异面直线，故 错误 【答案】 4 下列命题中 不正确的是 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 填
11、序号 ) 没有公共点的两条直线是异面直线； 分别和两条异面直线都相交的两直线 异面； 一条直线和两条异面直线中的一条平 行，则它和另一条直线不可能平行； 一条直线和两条异面直线都相交，则 它们可以确定两个平面 【 解析 】 本题考查异面直线的概念及平面 的性质 . 没有公共点的两直线平行或异面， 故 错；命题 错，此时两直线有可能 相交；命题 正确，因为若直线 a 和 b 异 面， ca ，则 c 与 b 不可能平行，用反证 法证明如下：若 cb ，又 ca ，则 ab ， 这与 a ， b 异面矛盾，故 c 不平行于 b ；命 题 也正确，若 c 与两异面直线 a ， b 都 相交，由公理 2 可知， a ， c 可确定一个平 面， b ， c 也可确定一个平面，这样， a ， b ， c 共确定两个平面 【答案】 .
