1、阶段复习课第二章,【答案速填】数学归纳法；演绎推理；归纳推理；由特殊到特殊的推理；结论；间接证明；分析法；由因导果.,【核心速填】1.合情推理：(1)特点：归纳推理和类比推理都是合情推理，前者是由_到_，_到_的推理，后者是由_到_的推理.(2)作用：二者都能由已知推测未知，都能用于_，推理的结论_为真，有待进一步证明.,个别,一般,部分,整体,特殊,特殊,猜想,不一定,2.演绎推理：(1)特点：演绎推理是由_到_的推理，是数学中证明的基本推理形式.(2)一般模式：_是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的_；小前提所研究的_情况；结论根据_，对_情况做出的判断.,一般,特殊,“三段论”,一般
2、原理,特殊,一般原理,特殊,3.直接证明的两类基本方法：(1)综合法：是从_推导出_的证明方法；综合法又叫做_法或_法.(2)分析法：是由_追溯到_的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“只需证”等分析到一个_的结论P，再说明所要证明的数学问题成立.,已知条件,结论,顺推证,由因导果,结论,条件,明显成立,(3)综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从_进行分析，寻求_与_、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用_证明，或者在证明时将两种方法交叉使用.,结论,结论,
3、条件,综合法,4.间接证明的方法：(1)特点：反证法是从_反面成立出发，推出_的证明方法.(2)注意问题：利用反证法证明数学问题时，要_错误，并用_进行推理，没有用_推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.,结论,矛盾,假设结论,假设命题,假设命题,(3)使用范围：当一个命题的结论是以_，_、_或以_形式出现时，宜用反证法来证，反证法推导矛盾的类型：(4)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与_矛盾；与_矛盾；与_矛盾；与事实矛盾等方面.,“至多”,“至少”,“唯一”,否定,已知条件,假设,定义、公理、定理,5.数学归纳法：(1)定义：数学归纳法主要用于解决与_有关的数学问题.证
4、明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n=_时结论成立.第二步(归纳递推)假设n=k时，结论成立，推得n=_时结论也成立.(2)注意问题：n=n0时成立，要弄清楚命题的含义.由假设n=k成立证n=k+1时，要推导详实，并且一定要运用n=k成立的结论.要注意n=k到n=k+1时增加的项数.,正整数,n0,k+1,类型一：合情推理的应用【典例1】(1)在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为，则cos2+cos2=1，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为，则有.,(2)(2015宁波高二检测)两点等分单位圆时，有
5、相应正确关系为sin+sin(+)=0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin+ =0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为.,【解析】(1)我们将平面中的二维性质，类比推断到空间中的三维性质.由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是，则有cos2+cos2=1.我们根据长方形性质可以类比推断出空间性质，因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，,对角线AC1与过点A的三个面ABCD，AA1B1B，AA1D1D所成的角分别为，所以cos= ，cos= ，cos= ，所以cos2+cos2+cos2答案：cos2+cos2+cos2=2,(2)用两点等分单位圆时，
6、关系为sin+sin(+)=0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为(+)-=，用三点等分单位圆时，关系为sin+ =0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差和第三个角与第二个角的差相等，即有,以此类推，可得当四点等分单位圆时，此四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为 += +，第三个角为=+，第四个角为+即其关系为sin+sin +sin(+)+sin =0.答案：sin+sin +sin(+)+sin =0,【规律总结】1.归纳推理的特点及一般步骤,2.类比推理的特点及一般步骤,【补偿训练】(1)(2015济宁高二检测)观察式子
7、：当n2时，由此可归纳出的式子为( ),【解析】选C.根据几个不等式的特点，左边应为n项，所以左边=1+ 当n2时，右边= ，故归纳出的不等式为,(2)(2015大连高二检测)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.,【解析】平面内 类比到空间答案：,类型二：演绎推理的应用【典例2】讨论函数g(x)=- +2x的单调性.【解析】对函数g(x)求导得g(x)=-x2+2，如果f(x)在指定区
8、间上为正，那么f(x)在该区间上为增函数；如果f(x)在指定区间上为负，那么f(x)在该区间上为减函数大前提当x(- ， )时，g(x)0；当x(-，- )或x( ，+)时，g(x)0.只要证明4cos 上式可变形为4 +4(1-cos).,因为1-cos0，所以 当且仅当cos= ，即= 时取等号.所以4 +4(1-cos)成立.所以不等式2sin2 成立.,方法二：(综合法)因为 +4(1-cos)4，1-cos0，当且仅当cos= ，即= 时取等号，所以4cos .因为(0，)，所以sin0.4sincos ，所以2sin2 .,【规律总结】综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接
9、证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式.(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.,【补偿训练】已知a，b为正数，求证【证明】方法一：(综合法)方法二：(分析法)要证只要证a2+b2 (a+b)2(a0，b0)，即证a2+b2 (a2+b2+2ab)，即证a2+b22ab，因为a2+b22ab
10、成立.所以原结论成立.,类型四：反证法【典例4】若x，y，z(0，2)，求证：x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1.,【证明】假设x(2-y)1，且y(2-z)1，且z(2-x)1均成立，则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)1，由于0x2，所以0x(2-x) =1，同理0y(2-y)1，0z(2-z)1，三式相乘得0xyz(2-x)(2-y)(2-z)1，与矛盾，故假设不成立.所以x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1.,【规律总结】反证法的关注点(1)反证法的思维过程：否定结论推理过程中引出矛盾否定假设肯定结论，即否定推理否定(经过正确的推理导致
11、逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题).(2)反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法.,【补偿训练】已知：ac2(b+d).求证：方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0中至少有一个方程有实数根.【证明】假设两方程都没有实数根.则1=a2-4b2ac，即acTn.(3)求证：对任意的nN*有 成立.,【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1.整理得bn-bn+1=bnbn+1.所以bn0，否则an=1，与a1=2矛盾，从而得 因为b1=a
12、1-1=1，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列.所以 =n，即bn= .,(2)因为Sn=1+所以Tn=S2n-Sn=1+方法一：因为Tn+1-Tn=所以Tn+1Tn,方法二：因为2n+1所以Tn+1Tn.(3)用数学归纳法证明：当n=1时1+ =1+ 不等式成立；,假设当n=k(k1，kN*)时，不等式成立，即 那么当n=k+1时，,【规律总结】在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)利用假设是核心：在第二步证明中
13、一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.,【补偿训练】(2015达州高二检测)已知数列an满足a1=a，an+1= (nN*).(1)求a2，a3，a4.(2)猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.,【解析】(1)由an+1= ，可得(2)猜测an=下面用数学归纳法证明：当n=1时，左边=a1=a，右边= =a，猜测成立,假设当n=k(kN*)时猜测成立，即ak=则当n=k+1时，故当n=k+1时，猜测也成立由，可知，对任意nN*都有an= 成立,【通关训练】1.用演绎推理证明函数y=x3是增函数时的大前提是()A.增函数的定义B.函数y=x
14、3满足增函数的定义C.若x1x2，则f(x1)f(x2)【解析】选A.根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y=x3是增函数的大前提应是增函数的定义.,2.利用数学归纳法证明 (nN*，且n2)时，第二步由n=k到n=k+1时不等式左端的变化是( )A.增加了 这一项B.增加了 两项C.增加了 两项，同时减少了 这一项D.以上都不对,【解析】选C.不等式左端共有n+1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n=k时，左端为当n=k+1时，左端为 对比两式，可得结论,3.已知an为等比数列，a5=2，则有a1a2a9= =29.若bn为等差数列，b7=3
15、，则数列bn的类似结论为()A.b1+b2+b13=313B.b1+b2+b13=313C.b1b2b13=313D.b1b2b13=313,【解析】选A.在等比数列an中，由等比数列的性质得a1a2a9= =29.类似地，在等差数列bn中，由等差中项与等差数列的前n项和公式得b1+b2+b13= 13=13b7=313.,【拓展延伸】类比推理的技巧类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性也类似的一类推理方法.在解决这种问题时，要尽可能多地找到这两组对象的类似的属性，找到的越多，类比出的结论正确性就会越大，由于类比推理所得到的结论并不一定是正确的，因此需要对所猜想的结论
16、加以证明.,【补偿训练】已知x(0，+)，观察下列式子：x+ 2，x+ 3，类比有x+ n+1(nN*)，则a的值为( )A.nn B.n C.n+1 D.n-1【解析】选A.由观察可得：,4.(2015鞍山高二检测)命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)=x-xln x求导得f(x)=-ln x，当x(0，1)时，f(x)=-ln x0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了的证明方法.【解析】显然本题的证明过程是从已知条件出发一步一步推导结论，是由因导果的顺推法，故为综合法.答案：综合法,【补偿训练】补充下列证明过程：要证a2+b
17、2+c2ab+bc+ac(a，b，cR)，即证，即证，因为a，b，c为实数，上式显然成立.故命题结论成立.【解析】a，b，c在不等式中的位置是一样的，两端同乘以2后移项，可转化为完全平方式.答案：2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20,5.(2015杭州高二检测) 若 (a，b均为实数)，猜想，a=_，b=_.,【解析】由 可以求出3=22-1，8=32-1，15=42-1，故在6+ 中，a=6，b=a2-1=62-1=35.答案：635,6.若三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，求证：a，b，c不可能成等比数列.【解题指南】该命题为否定性命
18、题，故可采用反证法证明.【证明】假设a，b，c成等比数列，则b2=ac.又a，b，c成等差数列，所以2b=a+c.所以 =ac，即a2+2ac+c2=4ac.所以(a-c)2=0，所以a=c，与a，b，c互不相等矛盾.所以a，b，c不可能成等比数列.,【补偿训练】已知ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用分析法和综合法证明B为锐角.【证明】方法一：(分析法)要证明B为锐角，只需证cos B0，又因为cos B= ，所以只需证明a2+c2-b20，即a2+c2b2.因为a2+c22ac，所以只需证明2acb2.由已知 即2ac=b(a+c)，所以只需证明b(a+c)b2，即只需证明a+cb.而a+cb显然成立，所以B为锐角.,方法二：(综合法)由题意：则b= ，所以b(a+c)=2ac.因为a+cb，所以b(a+c)=2acb2.所以cos B=又因为0B，所以0B ，即B为锐角.,
