1、立体几何初步,1.3空间几何体的表面积和体积13.2空间几何体的体积,空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活中有着重要应用的是度量几何体的表面积和体积，如右图，在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？,1几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，其主要性质有：完全相同的几何体的体积_；体积相等的几何体叫_；两个等积体的几何体的形状_相同；底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积_2棱柱的体积公式：V柱体_(S为底面面积，h为柱体的高)；棱锥的体积公式：V锥体_(S为底面面积，h为棱锥的高)；台体的体积公式：V台体_(S、
2、S为两底面面积，h为台体的高),3圆柱的体积公式：V柱体_(R为底面圆的半径，h为圆柱的高)；圆锥的体积公式：V圆锥体_(R为底面圆的半径，h为圆锥的高)；圆台体的体积公式：V圆台体_(r、R为两底面圆半径，h为台体的高)4球的体积公式：V球_(R为球半径)，表面积公式为：S球_.,棱、锥、台和球的体积公式,祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”是推出以上公式的基础，由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质：完全相同的几何体的体积相等；体积相等的几何体叫等积体；两个等积体的几何体的形状不一定相同；底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等，等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略对于柱、锥
3、、台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆：,对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象地记忆为 (4R2)R.,柱体的体积,棱柱ABCABC的侧面AACC的面积为S，且这侧面与它相对的侧棱BB之间的距离为a，求这棱柱的体积,分析：此题若直接求底ABC的面积及其上的高，将是困难的，能否考虑采取补充或截割的办法，以已知面积的侧面为底来解呢？如右图设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱，成为一个平行六面体，再将面AACC看作底求出,解析：如右图过侧棱BB、CC分别作侧面AC、AB的平行平面，DD是交线；再伸展两底面，得到平行六面体ABDCABDC.侧面AACC的面积为S，设此面为底面，则平行六面
4、体BDDBACCA的高为a.,规律总结：这里几何体虽然是柱体，但在已知条件下不易求体积，此解法中将三棱柱补成平行六面体后便于求体积，要认真领会,锥体的体积,如右图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.,规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段，由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相交直线垂直，则它就与这个平面垂直本例中，由于PAPB且PAPC，而PB与PC相交于点P，所以PA垂直平面PBC，即PA为三棱锥APBC的高，从而顺利地求出其体积本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，
5、而是把它转化为三棱锥APBC的高，这种方法的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握,变式训练,1已知三角形ABC的边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积,解析：,台体的体积,三棱台ABCA1B1C1中，AB：A1B11：2，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为_,解析：如右图，三棱锥A1ABC的顶点看做A1，底面看做ABC；三棱锥CA1B1C1的顶点看做C，底面看做A1B1C1；三棱锥BA1B1C可看做棱台减去
6、两个三棱锥A1ABC和CA1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可,规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三：一是利用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其台体的体积；三是利用割补法来求其体积(如本例)(2)三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，割补法是重要的思想方法,变式训练,2已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为3 cm，求其体积,解析：,球体的体积,三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积等
7、于其他两个球体积和的三倍,分析：由三个球的半径之比为1：2：3，可设三个球半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示成r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系,规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为半径，球的直径为高的圆柱的体积的三分之二在求球的体积时，其关键是求球的半径,变式训练,3一平面截一球得直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是_,球的表面积,已知球的两平行截面的面积为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积,分析：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过球的直径的球的平
8、面)解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5，以r2为半径的截面面积为8，O1O21，球的半径为R，OO2x，那么可得下列关系式：,规律总结：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题,变式训练,4用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆半径为r124 cm，r215 cm，两截面间的距离为d27 cm，求球的表面积,解析：显然，两平行平面所截得的两截面圆应在球心的异侧，设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1、A2B2，上述大圆垂直于A1B1的直径交A1B1、A2
9、B2于O1、O2，如下图所示,有关组合体的表面积和体积,求体积为V的正方体的外接球的表面积和体积,分析：如右图所示，显然正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的截面，则其截面为圆内一正方形(正方形的各顶点均在内，而不是在圆上)因此这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可,解析：如上图，过正方体的对角面ACC1A1作球的截面，则球心为AC1的中点，设正方体的棱长为x，则,规律总结：正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题，必须谨慎地作其轴截面，切忌想
10、当然地作图，平时学习时最好是自己动手做实物模型，由模型作出相应的轴截面即可,变式训练,5如右图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF ，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积,分析：这个多面体是一个不规则的图形，其形状犹如木工常用的木楔，立体几何中把这种几何体称为楔体，所以必须运用割补的方法，将其化归为棱柱或棱锥进行体积计算,方法点拨：(1)本题充分结合图形的特征，强化割补的思想方法，考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力(2)某些立体几何问题，如果直接根据原有的图形解题困难时，那么不妨将此图形巧妙地分割或补形，转化为我们熟悉的柱、锥等比较规则的或
11、易于研究的几何体来处理，从而实现化繁为简、化难为易，便于解决问题(3)等积转化，亦称等积变换，通常是指用不同的方式求同一几何体的体积(或同一平面图形的面积),基础巩固,棱柱、棱锥和棱台的体积,2已知高为3的直棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B1ABC的体积为_,能力升级,多面体体积的综合应用,10在三棱锥ABCD中，P、Q分别在棱AC、BD上，连接AQ、CQ、BP、PQ，若三棱锥ABPQ、BCPQ、CDPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥ABCD的体积为_,解析：如右图，VABPQ：VBCPQ6：2，VBAPQ：VBCPQSAPQ ：SCPQ6：2，类似地VADPQ：VCDPQVDAPQ：VDCPQSAPQ：SCPQ6：2.其中VCDPQ8.VADPQ：86：2，VADPQ24，VABDC6282440.答案：40,祝,您,学业有成,
