1、2.5.2离散型随机变量的方差与标准差,【课标要求】1能利用随机变量的分布列求随机变量的方差和标准差2能利用随机变量的均值和方差解决简单的实际问题【核心扫描】1求简单离散型随机变量的方差(重点)2离散型随机变量的方差与标准差的概念及应用(难点),自学导引1离散型随机变量的方差、标准差(1)方差、标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为,方差,V(X)或2,标准差,平均程度,a2V(X),3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则V(X) ；(2)若XB(n，p)，则V(X) 想一想求随机变量X的方差一般步骤是什么？提示写出X的分布列，由分布列求E(X)，进而求V(X)如
2、果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布，可根据它们的期望、方差公式进行计算,p(1p),np(1p),名师点睛1研究均值与方差的意义随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数(或数字特征)，是对随机变量的一种简明的描写虽然随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律，但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，例如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与离散程度等均值表示随机变量一切可能值的平均值或集中位置，而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动的程度，由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概率分布出发，因而均值是随机变量的概率平均值,2随机变量的方差与样
3、本方差的关系样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数(量)而非变量对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差,题型一求随机变量的方差与标准差【例1】 已知随机变量X的概率分布是试求V(X)和V(2X1)思路探索 属于已知分布列，用公式求方差,解E(X)00.210.220.330.240.11.8.V(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.对于V(2X1)，可用两种方法求解法一2X
4、1的概率分布如下：,E(2X1)2.6.V(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.法二利用方差的性质V(aXb)a2V(X)V(X)1.56.V(2X1)4V(X)41.566.24.规律方法求随机变量的方差一般有两种方法，一是列出分布列，求出期望，再利用方差的定义求解；另一种方法是借助方差的性质求解,【变式1】 已知X的概率分布为求：(1)E(X)，V(X)，；(2)设Y2X3，求E(Y)，V(Y),题型二特殊分布的方差【例2】 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确
5、答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望和方差思路探索 判断随机变量服从的分布，并求方差,解设学生甲和乙在这次英语测验中正确解答的选择题个数分别是X，则XB(20,0.9)，rB(20,0.25)，E(X)200.918，E(r)200.255.V(X)npq200.90.11.8，V(r)npq200.250.7550.753.75.由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5X和5r.所以，他们在测验中的成绩的数学期望和方差
6、分别是E(5X)5E(X)51890，E(5r)5E(r)5525.V(5X)25V(X)251.845，V(5r)25V(r)253.7593.75.,规律方法若随机变量服从二项分布，即XB(n，p)，则可直接用公式E(X)np，V(X)np(1p)求期望和方差不必列出分布列,题型三方差的实际应用【例3】 (14分)现从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出现次品的个数X1，X2的分布列如下：,根据以上条件，选派谁去合适呢？本题考查了随机变量期望与方差的实际意义及求解，由具体数据对随机变量做出判断解题流程,规范解答 根据分布列可得，E(X1)00.2
7、10.420.330.11.3，E(X2)00.310.320.230.21.3，因为E(X1)E(X2)，所以技工甲与乙出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考察稳定性(7分)V(X1)(01.3)20.2(11.3)20.4(21.3)20.3(31.3)20.10.81；V(X2)(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21；(11分)因为V(X1)V(X2)，所以技工乙波动较大，稳定性差，综上应选派技工甲去参加比赛(14分),【题后反思】 均值反映了随机变量取值的平均水平，当均值相同时，由方差作出判断，方差反映了随机变量取值偏于平均水平的情况
8、，方差越大说明随机变量取值波动大，越不稳定，方差越小，越稳定,【变式3】 甲，乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，已知两人在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求X，Y的分布列；(2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲，乙两人的射击技术,解(1)依据题意，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.X，Y的分布列分别为,(2)结合(1)中，X，Y的分
9、布列可得E(X)100.590.380.170.19.2，E(Y)100.390.380.270.28.7，V(X)(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，V(Y)(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E(X)E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为V(X)V(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定所以，甲比乙的技术好,误区警示忽略方差或对方差的实际意义混淆 而判断出错【示例】 某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下，进行对比实验，100公顷的产量列表如下：甲,乙,试判断这两
10、个品种哪一个较好？错解 设甲品种每公顷产量为X甲，则X甲的概率分布为由上表可得E(X甲)9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以计算出E(X乙)9.20.359.50.2100.35110.19.72.由E(X甲)E(X乙)可知甲、乙两个品种的质量相同,对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察,正解 由错解知：E(X甲)E(X乙)9.72，V(X甲)(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064.V(X乙)(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.295 6，V(X甲)V(X乙)所以甲品种质量更好一点 对于两个对象的优劣的比较，首先要比较它们的均值，当均值一致时，还必须利用方差，对其稳定性进行分析比较,
