1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-2,导数及其应用,第一章,1.4定积分与微积分基本定理第1课时曲边梯形面积与定积分,第一章,大自然是懂数学的你看，在我们生活的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它们具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形状，好似两条曲线相交而成同样，花卉的花瓣也是曲线形状的那么，怎样计算这种由曲线围成的图形的面积呢？,1.从1到n的自然数的平方和等于多少？2函数f(x)在xx0处导数的定义是什么？,一、定积分的实际背景1曲边梯形的概念如图(1)，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线yf(x)的一段我们把由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(
2、x)所围成的图形称为曲边梯形,注意：曲边梯形的面积并不是一个孤立的概念，曲边梯形与“直边图形”有密切的联系，曲边梯形与“直边图形”的主要区别是前者至少有一边为曲线段，后者所有边都是直线段可用“以直代曲”的思想求曲边梯形的面积,在求由xa，xb(ab)，y0及yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积S时，在区间a，b上等间隔地插入n1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是()n个小曲边梯形的面积和等于S；n个小曲边梯形的面积和小于S；n个小曲边梯形的面积和大于S；n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系不确定,导学号05300287,A1B2
3、C3D4答案A解析只有正确故选A.,导学号05300288,二、定积分的概念1定积分的概念设函数yf(x)定义在区间a，b上(如图)，用分点ax0x1x2xn1xnb把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.,(2)定积分表示面积的代数和以上考虑的问题中被积函数的值是非负的，定积分的值也为非负的，如果被积函数是负的，函数曲线在x轴之下，定积分的值就是曲边梯形的面积的相反数当被积函数在积分区间上有正、有负时，定积分就是x轴之上的面积与x轴之下的面积相反数的代数和(3)特别注意：定积分可以是面积，体积，功，路程，压力，还有更多的实际意义,利用定积分的几何意义求定积
4、分的步骤(1)准确画出图形(2)通过解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以考虑下列因素被积函数的原函数易求；较少的分割区域；积分的上、下限比较简单,导学号05300289,利用定积分的定义，求由直线x1，x2，y0及yx3围成的曲边梯形的面积分析将区间1,2平均分为n份，将曲边梯形分成n部分，用矩形面积近似代替每个小曲边梯形的面积，然后求各曲边梯形面积的和，最后取极限、得结论,曲边梯形面积的求法,导学号05300290,解析如图所示,将本例改为“求由x0，x2，y0及yx3围成的曲边梯形的面积”,导学号05300291,求变力所做的功,导学号05300292,导学号05300293,利用积分的几何意义求定积分,导学号05300294,导学号05300295,导学号05300296,
