1、1.1 命题及其关系,高二数学 选修1-1 第一章 常用逻辑用语,歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边趾高气扬地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”而对如此的尴尬的局面，歌德只是笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反。”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。,你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？,常用逻辑用语,“数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学. 逻辑用语是我们必不可少的工具. 通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正
2、出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.,1.1.1 命题,特点：都是陈述句;,都可以判断真假.,下列语句的表述形式有什么特点? 你能判断它们的真假吗?(1)若直线ab,则直线a和直线b无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若x2=1,则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等;(6)3能被2整除.,（）,（）,（）,（）,（）,（）,命题的概念 一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,判断为真的语句叫真命题。,判断为假的语句叫假命题。,结论：,命题的定义的要点：能判断真假的陈述句,用语言、符号或
3、式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？,判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个基本条件。有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研究。,(1) 7是23的约数吗? (2) x5. (3) -2a3。（6） x4。,看看下列语句是不是命题？,不是（疑问句）不是（疑问句）不是（感叹句） 是 是 不是,例1. 下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数，则a是奇数;(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，
4、则这两条直线平行;(5) ;(6) x15.,真命题,真命题,假命题,假命题,上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种形式.,“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.,记做:,（不是命题）,（不是命题）,命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件, q叫做命题的结论。“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式, 也可写成“如果p,那么q” ，“只要p,就有q”等形式。其中p和q可以是命题也可以不是命题.“若p则q”形式的命题的优
5、点是条件与结论容易辨别, 缺点是太格式化且不灵活.,“若p则q”形式的命题,例2 指出下列命题的条件p和结论q： （1）若整数a能被2整除，则a是偶数； （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分,解：(1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。,(2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。,数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式： 若两个平面垂直于同一条直线， 则这
6、两个平面平行这样，它的条件和结论就很清楚了,“若p则q”形式的命题的书写,例3. 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:,（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；,若两条直线垂直于同一直线，则这两条直线平行。,假,（2） 负数的立方是负数;,（3） 对顶角相等.,若一个数是负数，则这个数的立方是负数。,若两个角是对顶角，则这两个角相等。,真,真,例3. 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:,（4）垂直于同一条直线的两个平面平行；,（5）两个全等三角形的面积相等；,（6） 3能被2整除；,若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。,若两个三角形全等，则这两个三角形的面积
7、相等。,若一个数是3，则这个数能被2整除。,真,假,真,习题：课本P,2. 判断下列命题的真假：（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等， 则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于450 的三角形 是等腰三角形,（真命题）,（真命题）,（真命题）,（假命题）,3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假：（1）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于y轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行,解：（1）若一个三角形是等腰三角形，则该三角形 的两腰上的中线相等, 它是真命题;,（2）若一个函数是偶函数，则它的图
8、象关于 y轴对称, 它是真命题;,（3）若两个平面垂直于同一个平面， 则这两个平面平行, 它是假命题.,练习,将命题“a0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加” 改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假。,解: a0时，若x增加，则函数y=ax+b 的值也随之增加，它是真命题,在本题中，a0是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内,2. 设有两个命题：p：|x|+|x-1|m的解集为R; q：函数f(x)= - (7-3m)x 是减函数， 若两个命题中有且只有一个真命题， 求实数m的取值范围。,解：若命题p为真命题，则m1； 若命题q为真命题，则7-3m1,即m2.当
9、p真q假时，当p假q真时， 故m取值范围是1m2.,变式：,小 结,1.1.2 四种命题,思 考： 下列四个命题中，命题（）与命题（）（）（）的条件和结论之间分别有什么关系？（）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；（）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；（）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；（）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；,思 考 下列四个命题中，命题（）与命题（）的条件和结论之间分别有什么关系？ （）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；,
10、特点：条件和结论互换了,一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题 即若将原命题表示为：若p，则q 则它的逆命题为：若q，则p 即交换原命题的条件和结论即得其逆命题,例：给出命题“同位角相等，两直线平行”写出其逆命题,分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行(原命题),条件: 两直线平行; 结论: 同位角相等(逆命题),其逆命题：两条直线平行，同位角相等,思考下列四个命题中，命题（）与命题（3）的条件和结论之间分别有什么关系？ （）若f (x) 是正弦函数，则f (x)
11、是周期函数；（ 3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x)不 是周期函数；,特点：将条件和结论同时否定了,一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的的否命题 即若将原命题表示为：若p，则q 则它的否命题为： 若p，则q.即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.,分析: 条件：整数a不能被整除 ; 结论：a是奇数(原命题),例：写出命题“若整数a不能被整除， 则a是奇数”的否命题.,条件：整数a能被整除 ; 结论：a不是奇数(否命题),否命题：若整数a能被整除
12、，则a是偶数.,探究：如果原命题是真命题，那么它的 否命题一定是真命题吗？,否命题：同位角不相等，两直线不平行.,例1.原命题：同位角相等，两直线平行.,例2.原命题：若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数.,否命题：若f (x) 不是正弦函数，则f (x)不 是周期函数.,（真命题）,（真命题）,（真命题）,（假命题）,原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.,思 考: 下列四个命题中，命题（）与命题（4）的条件和结论之间分别有什么关系？ （） 若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （） 若f (x) 不是周期函数，则f (x)不 是正弦函数；,特点：交换原命题
13、的条件和结论， 并且同时否定了,一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的逆否命题 即若将原命题表示为：若p，则q, 则它的逆否命题为：若q，则p. 即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.,例：写出命题“同位角相等，两直线平行” 的逆否命题.,分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行(原命题),条件: 两直线不平行; 结论: 同位角不相等(逆否命题),其逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.,探究：如果原命题是真命题，那么它 的逆否命题一定是真命
14、题吗？,例1.原命题：同位角相等，两直线平行.,逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.,例2.原命题：f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；,若逆否命题：f (x) 不是周期函数，则f (x)不 是正弦函数；,（真命题）,（真命题）,（真命题）,（真命题）,原命题是真命题，它的逆否命题一定是真命题.,四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p，则q，则它的： 逆命题为：若q，则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题. 否命题为：若p，则q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题. 逆否命题为：若q，则p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.,总 结,练
15、习：6 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题: （1）若一个整数的末位数字是0， 则这个整数能被5整除； （2）若一个三角形的两条边相等， 则这个三角形的两个角相等； （3）奇函数的图象关于原点对称.,补 充 题： 写出命题“若 xy= 0, 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题.,解：逆命题：若 x = 0或 y = 0,则 xy = 0; 否命题：若 xy 0 ,则 x 0且 y 0; 逆否命题：若 x 0且 y 0 , 则 xy0.,一些常见的结论的否定形式,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,不等于,某
16、个,1.命题的概念，如何判断命题？2.四种命题的概念及其形式， 怎样写出一个简单的命题 （原命题）的逆命题、 否命题、逆否命题,小 结：,1.1.3 四种命题间 的相互关系,（）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；（）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；（）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；（）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；,我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,例1 “若x2+y20，则x，y至少有一个不为0”是命题A
17、的否命题，写出命题A及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。,解：命题A:若x2+y2=0，则x，y全都为0； 逆命题：若x，y全都为0，则x2+y2=0； 逆否命题：若x，y至少有一个不为0，则x2+y20,思考：,四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？,真,真,真,知识探究,例2.原命题：“若x23x20，则x2”，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？,原命题：若x23x20，则x2；,逆命题：若x2，则x23x20；,否命题：若x23x20，则x2；,逆否命题：若x2，则x23x20.,（假）,（假）,（真）,（真）,知识探究,例3.已知原命题：“若x0，y0
18、，则xy0”，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？,原命题：若x0，y0，则xy0；,逆命题：若xy0，则x0，y0；,否命题：若x0，y0，则xy0；,逆否命题：若xy0，则x0，y0.,（假）,（假）,（假）,（假）,知识探究,一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:,通过我们做过的例题和练习题，你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗？,真,真,真,真,真,假,假,假,假,假,假,假,假,真,真,真,四种命题的真假性之间的关系：,(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.,四种命题之间的关系
19、总结,原命题若p则q,逆命题若q则p,否命题若 p则 q,逆否命题若 q则p,互为逆否 同真同假,互为逆否 同真同假,例4. 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.,证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0， 则x20，所以x2+y2 0， 也就是说x2+y2 0. 因此，原命题的逆否命题为真命题， 从而原命题为真命题.,分析:因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性， 所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时， 可以通过证明它的逆否命题:若x，y中至少有一 个不为0，则x2+y2 0. 为真命题，来间接证明原命题为真命题。,证明：若a-b=1，则 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(
20、a-b)+2a-4b-3 =a+b+2a-4b-3 =3a-3b-3=3(a-b)-3 =31-3=0 所以原命题的逆否命题为真命题， 所以原命题也为真命题。,P8 练习,反证法,欲证“若p,则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法。,反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.,证明命题的方法,方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论p，证明其为真命题；,方法二：等价法，证明
21、命题（若p，则q）的等价命题逆否命题（若q，则q）为真，则原命题也为真；,方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。,用反证法证明：“上帝不是万能的”,证明：假设上帝是万能的，那么上帝能 造出一块他自己都举不动的石头， 否则上帝就不是万能的；但是上 帝又举不起这块石头，因此上帝 不是万能的，这与假设矛盾。所 以原假设不成立，即上帝不是万能的。,证明:若p+q=2,则p+q2.,分析：将“若p+q=2,则p+q2”视为原命题。要证明 原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题 “若p+q2,则p+q2”为真命题，从而达到证 明原命题为真命题的
22、目的。,证明：若p+q2,则p+q=1/2(p-q)+(p+q) 1/2(p+q)1/22=2, 所以p+q2. 这表明，原命题的逆否命题为真命题， 从而原命题也为真命题。,练习,练习 证明：若pq2，则p2q22.,证明一：要证“若pq2，则p2q22” 只需证它的逆否命题“若p2q22，则pq2”成立。 p2q2=2，则2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2 逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。 证明二：假设p2q2=2，则2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2，这与命题的条件pq2相矛
23、盾， 假设不成立，即p2q22， 故原命题为真命题。,（同题多解，学会等价法与反证法的灵活应用）,习题1.1 B组 求证：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P， 且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设AB、CD被P平分， 则OP是等腰AOB, COD的底边上的中线， 所以，OPAB, OPCD 但AB和CD都经过点P,且与OP 垂直，这是不可能的， 所以假设不成立， 故弦AB、CD不被P平分， 命题得证。,连结OA,OB,OC,OD及OP,-,P8,课堂小结：,原命题：,逆命题：,否命题：,逆否命题：,若p则q.,若q则p.,若p则q.,若q则p.,1、四种命题形式：,2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系.,通过这节课的学习，你学到了那些知识呢？,作业：习题1.1 A组 24题,
