1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题,2.3.1 双曲线及其标准方程,2.3双曲线,【课标要求】,【核心扫描】,用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程(重点)与双曲线定义有关的应用问题(难点),1,2,1,2,双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这_叫做双曲线的焦点， _叫做双曲线的焦距试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？,自学导引,1,差的绝对值,两个定点,两焦
2、点间的距离,提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示,(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线,双曲线的标准方程,2,a2b2,提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上,对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2a|F1F2|时，其轨迹不存在(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若F1、F2表示双曲线
3、的左、右焦点，且点P满足|PF1|PF2|2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|PF1|2a，则点P在左支上,名师点睛,1,(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离”双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，与椭圆中b2a2c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中a、b大小则不确定,2,(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点
4、跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax2By21(AB0)或进行分类讨论,题型一求双曲线的标准方程,【例1】,规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法,求适合下列条件的双曲线的
5、标准方程：(1)a3，c4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，6)，(0，6)，经过点A(5，6)解(1)由题设知，a3，c4，由c2a2b2得，b2c2a242327.,【变式1】,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积,题型二双曲线定义的应用,【例2】,思路探索 (1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积,(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M
6、到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得,规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF
7、1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，,【变式2】,题型三与双曲线有关的轨迹问题,【例3】,【题后反思】 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支,如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5，0)，半径r11；,【变式3】,圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5，0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.,只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况,误区警示忽略双曲线焦点位置致误,【示例】,答案m|33,单击此处进入 活页规范训练,
