1、本讲整合,专题一,专题二,专题一正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时,常常会遇到两个困难,一是数学归纳法的思想实质不容易理解,二是归纳步骤的证明有时感到难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理,弄清它的实质,从而明确如何正确地使用数学归纳法.,专题一,专题二,(1)缺少数学归纳法的第二步.有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立,那么由P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的,因此第二步归纳步骤是流于形式,证与不证似乎一样,显然这是不正确的.产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性,那么一个命题可
2、能对于开头的许多自然数都成立,但是对于一般的自然数并不成立,我们举几个例子来看看.,专题一,专题二,专题一,专题二,(2)缺少数学归纳法的第一步.也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用,而且k又可以任意取值,这样就够了,有没有第一步P(1)无关紧要.这种认识也是错误的,它忽视了第一步的奠基作用,因为如果没有P(1)成立,归纳假设P(k)成立就没有了依据,因此递推性也就成了无源之水,无本之木,下面我们看一个这样的例子.,专题一,专题二,例:证明(n+1)2+(n+2)2一定是偶数(nN+).证明:假设当n=k时命题成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶数.当n=k+1时,(k+1)+12+(k
3、+1)+22=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2+4(k+2).由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数,又4(k+2)也是偶数,所以上式是偶数,这就是说当n=k+1时命题也成立.由此,对于任意的正整数n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶数.这个结论显然是错误的,原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤,实际上,当n=1时,(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶数,这说明使用数学归纳法时不可缺少第一步.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题二数学归纳法证题的几种技巧在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟
4、悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.,专题一,专题二,1.分析综合法用数学归纳法的假设证明关于正整数n的命题,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.应用1求证:对任意正整数n,有13+23+33+n3=(1+2+n)2成立.提示:这是一个等式证明问题,它涉及全体正整数,用数学归纳法证明.用数学归纳法证明恒等式,关键是第二步要用上假设,证明n=k+1时,原等式成立.,专题一,专题二,证明
5、:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,所以原等式成立.(2)假设当n=k(kN+,k1)时,等式成立,即13+23+k3=(1+2+k)2.则当n=k+1时,13+23+k3+(k+1)3=(1+2+k)2+(k+1)3即当n=k+1时,原等式也成立.综合(1)(2)可知,对任何nN+,原等式都成立.,专题一,专题二,提示:这是一个不等式证明问题,它涉及全体正整数n,用数学归纳法证明.,专题一,专题二,专题一,专题二,2(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(a
6、k-bk)0.因为a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,这就证明了当n=k+1时,不等式成立.,专题一,专题二,2.放缩法涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.提示:利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论.但要注意从n=k变化到n=k+1时增加了多少项,减少了多少项,一般用f(k+1)-f(k)研究增加或减少的项的多少.,专题一,专题二,专题一,专题二,3.递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.提示:数列类问题用数学归纳法证明时,一般先用递推公
7、式,后用归纳假设.,专题一,专题二,专题一,专题二,4.拼凑法用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时,从“k”过渡到“k+1”常用拼凑法.应用5对于任意正整数n,求证:an-bn能被a-b整除(对于多项式A,B,如果存在多项式C,使得A=BC,那么称A能被B整除).提示:用数学归纳法证明问题时,关键在于弄清n由k到k+1时,问题的变化情况,创造条件一定要用上归纳假设.,专题一,专题二,证明:(1)当n=1时,an-bn=a-b能被a-b整除.(2)假设当n=k(kN+,k1)时,ak-bk能被a-b整除,那么当n=k+1时,ak+1-bk+1=ak+1-akb+akb-bk+1=ak
8、(a-b)+b(ak-bk).因为(a-b)和ak-bk都能被a-b整除,所以ak(a-b)+b(ak-bk)也能被a-b整除.即当n=k+1时,ak+1-bk+1能被a-b整除.根据(1)(2)可知,对一切正整数n,an-bn都能被a-b整除.,专题一,专题二,5.几何法“几何类”命题的证题关键是先要从证明n=k+1时命题成立的结论中,分解出n=k时命题成立的部分,然后去证明余下的部分.提示:利用数学归纳法证明几何问题,关键是找出由n=k到n=k+1时所增加的项.,专题一,专题二,(2015江苏,23)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN+),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.,解:(1)f(6)=13.(2)当n6时,f(n),
