1、本讲整合,专题一,专题二,专题一与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径来解决.,专题一,专题二,A.50B.45C.40D.35,CAE-ECA=20.又CEB=CAE+ACE=60,CAE=40,即CAB=40.答案:C,专题一,专题二,应用2如图,已知D,E分别是ABC的BC,AC边上的点,且ADB=AEB.求证:CED=ABC.提示:要证明
2、CED=ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证明A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故采用分类讨论来解决.,专题一,专题二,证明:作ABE的外接圆,则点D与外接圆有三种位置关系:点D在圆外;点D在圆内;点D在圆上.(1)如果点D在圆外,设BD与圆交于点F,连接AF,如图.则AFB=AEB.而AEB=ADB,则AFB=ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不能在圆外.(2)如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于点F,连接AF,如图,则AFB=AEB.又因为AEB=ADB,所以AFB=ADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不
3、可能在圆内.综上可得,点A,B,D,E在同一圆上.所以CED=ABC.,专题一,专题二,专题二与圆有关的线段的计算与证明在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,先考虑圆幂定理,即相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,得到成比例线段,再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等量代换加以证明或列出方程解得线段的长.,专题一,专题二,应用3如图,过O外一点A作一条直线与O交于C,D两点,AB切O于B,弦MN过CD的中点P.若AC=4,AB=6,则MPNP=.,专题一,专题二,应用4在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点C,D,交另一圆于点E,F.求证:CGED=EGCF
4、.提示:简单型的比例线段问题,首先考虑证明两个三角形相似.证明:如图,连接AD,AE,BC,BF.D=ABC,AGD=CGB,ADGCBG.AGBG=CGDG.,专题一,专题二,2,3,4,1,5,6,7,8,1(2015天津高考,理5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为(),2,3,4,1,5,6,7,8,解析:由相交弦定理,因为M,N是弦AB的三等分点,所以AM=MN=NB,MB=AN.所以AMMB=ANNB.答案:A,2,3,4,1,5,6,7,8,解析:由切割线定理得EC2=EBEA,即12=EB(E
5、B+4),可求得EB=2.连接OC,则OCDE,所以OCAD,答案:3,2(2015广东高考,文15)如图,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=,2,3,4,1,5,6,7,8,3(2015重庆高考,理14)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,则BE=.解析:因为PA是圆的切线,所以有PA2=PCPD,因此CD=PD-PC=9.又因为CEED=21,所以CE=6,ED=3.又由相交弦定理可得AEBE=CEED,答案:2,2,
6、3,4,1,5,6,7,8,4(2015广东高考,理15)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.,2,3,4,1,5,6,7,8,答案:8,2,3,4,1,5,6,7,8,5(2015课标全国高考,理22)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;,2,3,4,1,5,6,7,8,解:(1)连接AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtAEC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.连接OE,则OBE=OEB.又ACB+ABC=90,
7、所以DEC+OEB=90,故OED=90,DE是O的切线.,2,3,4,1,5,6,7,8,6(2015课标全国高考,理22)如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的半径,且AE=MN=,2,3,4,1,5,6,7,8,解:(1)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线.又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦,所以O在AD
8、上.连接OE,OM,则OEAE.,2,3,4,1,5,6,7,8,由AG等于O的半径得AO=2OE,所以OAE=30.因此ABC和AEF都是等边三角形.,2,3,4,1,5,6,7,8,7(2014课标全国高考,文22)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:D=E;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:ADE为等边三角形.,2,3,4,1,5,6,7,8,(1)证明:由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE.由已知得CBE=E,故D=E.(2)解:设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC,知MNBC,
9、故O在直线MN上.又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD.所以ADBC,故A=CBE.又CBE=E,故A=E.由(1)知,D=E,所以ADE为等边三角形.,2,3,4,1,5,6,7,8,8(2014课标全国高考,文22)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)ADDE=2PB2.,2,3,4,1,5,6,7,8,证明:(1)连接AB,AC,由题设知PA=PD,故PAD=PDA.因为PDA=DAC+DCA,PAD=BAD+PAB,DCA=PAB,因此BE=EC.(2)由切割线定理,得PA2=PBPC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理,得ADDE=BDDC,所以ADDE=2PB2.,
