1、3.1.1数系的扩充和复数的概念,1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法.,1.复数的概念及代数表示法(1)定义:我们把集合C=a+bi|a,bR中的数,即形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集合C叫做复数集,规定ii=-1.(2)代数表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,bR,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.,2.复数相等的充要条件在复数集C=a+bi|a,bR中任取两个数a+bi,c+di(a,
2、b,c,dR),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d.,温馨提示应用两复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解.,温馨提示实数集R是复数集C的真子集,即RC.至此,我们学过的有关数集的关系为:N*NZQRC.,【做一做3-1】 下列命题是假命题的是()A.自然数集是非负整数集B.实数集与复数集的交集为实数集C.实数集与虚数集的交集是0D.纯虚数与实数集的交集为空集解析:本题主要考查复数集合的构成,即复数的分类.复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,故选项C中的命题是假命
3、题.答案:C,【做一做3-2】 “a=0”是“复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由复数的概念知:若a+bi为纯虚数,则必有a=0成立,即为必要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,即不是充分条件.故选B.答案:B,1.数系扩充的一般原则是什么?剖析:数系扩充的脉络是:自然数系整数系有理数系实数系复数系,用集合符号表示为NZQRC.从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换
4、律和结合律,乘法对加法满足分配律.一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则:(1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集;(2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用;(3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变;(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.,2.如何理解虚数单位i?剖析:在实数集中,有些方程是无法求解的.例如x2+1=0,为解决解方程的需要,人们引进一个新数i,叫做虚数单位,且规定:(1)它的平方等于-1,即i2=-1.(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.由于i2b,则a+ib+i.分析:解答本题要严格
5、按照复数的有关概念和性质进行判断.解:(1)错误.当且仅当zR时,z20成立.若z=i,则z2=-10.(2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0i=0R.(3)错误.两个虚数不能比较大小.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如两数大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.,【变式训练1】 有下列四个命题:(1)方程2x-5=0在自然数集N中无解;(2)方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;(3)x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;(4)x4=1在实数R中有两解,在复数
6、集C中也有两解.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小.2.复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据,是复数问题实数化的桥梁.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组),求解参数时,注意考虑问题要全面.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在解决此类问题时,首先要明确条件中的字母所代表的意义.不明确时,一定要注意设出相关的复数形式,满足复数相等的前提条件后,再根据复数相等的充要条件建立方程(组)求解.,
