1、成才之路数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-1,圆锥曲线与方程,第二章,章末归纳总结,第二章,知 识 结 构,学 后 反 思,专 题 探 究,本章要解决的主要问题是：曲线轨迹方程的求法，椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质及其应用，直线与圆锥曲线位置关系的判断以及最值问题、范围问题的处理技巧解决上述问题的关键是，首先要认识坐标法是解决解析几何问题的根本方法其次要注意运用类比的思想抓住椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，再次还要注意数形结合的思想方法在本章中的应用，最后，要运用联系的观点、用函数与方程、等价转化的思想，去解决最值范围问题，同时注意总结归纳通性通法，尝试理论联系实
2、际去探索和发现,1曲线与方程的定义的三点说明(1)纯粹性：定义中的条件，阐明曲线上没有坐标不是方程的解，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(2)完备性：定义中的条件，阐明符合条件的所有解对应的点都在曲线上而毫无遗漏,(3)实质：定义的实质是平面曲线的点集M|P(M)和方程F(x，y)0的解集(x，y)|F(x，y)0之间的一一对应关系具体如下：由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以通过曲线求出曲线的方程,2对椭圆定义的两点说明(1)前提：椭圆定义是解决椭圆问题的常用工具，定义中“平面内”这一条件不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形(2)限制条件：椭圆中到两
3、定点的距离之和记为2a，只有2a大于两定点间的距离|F1F2|时，动点的轨迹才是椭圆在判断一曲线是否为椭圆时，一定不要忽略此限制条件,(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，具体影响如下：,4对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若F1，F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|PF2|2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|PF1|2a，则点P在左支上(2)在双曲线定义中，规定2a2c时，动点P的轨迹不存在,5对双曲线渐近线的三点说明(1)双曲线的渐近线是两条直线随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点(2)由双曲线的渐近线方程
4、只能确定a与b或b与a的比值，却无法确定双曲线焦点在哪一坐标轴上,7对抛物线定义的理解(1)定义条件：直线l不经过定点F.(2)一动三定：“一动”，即动点P；“三定”，即定点F，定直线l和定值，也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.,8抛物线标准方程的特点(1)方程特点：抛物线的标准方程是关于x，y的二元二次方程，等号的左边是其中一个变量的平方，另一边是另一个变量的一次项(2)参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭,(3)四种标准方程的位置的相同点：原点在抛物线上；焦点在坐标轴上；准线与焦点在原点两侧，且
5、准线与其中一条坐标轴垂直,9在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较,10.参数p(p0)对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大11关于直线与圆锥曲线位置关系的几点认识直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0.,12.应用弦长公式时注意的问题直线与圆锥曲线的弦长问题一定注意直线斜率不存在的情况，同时，当直线过x轴上一个定点(c,0)时，直线方程设为xmyc，此种设法，在抛物线中运用，显得更为方便,求动点的轨迹方程是圆锥曲线的基本问题之一，求适合某种条件的动点(x，y)的轨迹方程，其实质就是根据题设条件，用“坐标法”将其转化为寻
6、求变量x，y所适合的等式F(x，y)0.求轨迹方程的常用方法如下：,轨迹方程的求法,1直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线距离公式、斜率公式、定比分点坐标公式、面积公式等)变换成表示动点坐标x，y间的关系式，从而得到轨迹方程这种求轨迹方程的方法称为直接法直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质,2定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征,3代入法若所求轨迹上的动点P(x，y)与
7、另一条已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做代入法(又称相关点法),4参数法如果所求动点P(x，y)轨迹的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法参数法中常选变角、变斜率等为参数注意参数的取值范围对方程中的x，y的范围的影响5设而不求法求弦中点的轨迹方程，常常运用“设而不求”的技巧，通过中点坐标及斜率的代换，达到求出轨迹方程的目的，这种求轨迹方程的方法叫做设而不求法，也称
8、做“点差法”,例1已知动点M到定点A(1,0)与到定直线l：x3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？,当x3时，上式化简为y212(x4)；当x3时，上式化简为y24x.所以点M的轨迹方程为y212(x4)(x3)和y24x(x3)，其轨迹是两条抛物线段,例2已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程 分析先利用两圆内切和外切求得圆心距，再利用椭圆几何定义求解,解析设动圆圆心为P(x，y)，半径为r，连PC1，PC2(如图)，则|PC1|13r，|PC2|3r，所以|PC1|PC2|1
9、6.由椭圆的定义知：点P的轨迹是以点C1，C2为焦点的椭圆，,例3过双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程分析先找到P点和Q点坐标之间的关系，再利用Q点坐标满足双曲线方程，间接求得P点轨迹,与圆锥曲线有关的最值问题，大都是些综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角、几何诸方面的知识，现把这类问题的求解策略与方法介绍如下：1平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解2目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值,与圆锥曲线有关的最
10、值、定值问题,3判别式法对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程用判别式来求最值在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定点(值)问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定定点或定值是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的,圆锥曲线中的定点、定值问题的处理方法：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关；直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点或定值其证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作程序如下：变量选择适当的量为变量；函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数定值把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值,点评本题是将变量的
11、关系转化成为二次函数，然后利用二次函数的最值求法求解最值，同时本题用了分类讨论的数学思想，在解题中注意体会,思想方法,分析要解决本题，需要画出图形，分析变量之间的关系，在解题过程中用到直线与椭圆的位置关系及韦达定理,点评与圆锥曲线的参数有关的题型，常用数形结合思想解决以形助数，落实条件；以数助形，得出结论，数形结合相得益彰，优势互补,点评本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率、两条直线垂直的条件以及方程思想，需同学们认真领会并掌握,分析(1)由椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，可得a，c的值，进而可求得a2，b2；(2)由于轨迹方程中有参数，所以需对参数进行讨论,点评由于直线l位置的不确定性，因此需要讨论，所以问题的分类是根据需要进行的，注意分类讨论时要做到不重不漏,
