1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修2-2,推理与证明,第二章,2.1合情推理与演绎推理,第二章,2.1.1合情推理,第2课时类比推理,理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用,重点：类比推理难点：类比推理的特点及应用,类比推理,思维导航,1类比推理由两类对象具有某些_特征和其中一类对象的某些_，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由_到_的推理(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属
2、性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能,新知导学,类似,已知特征,特殊,特殊,2合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_、_、_，再进行_、_，然后提出_的推理，我们把它们统称为合情推理3归纳推理是由部分到_，由具体到_，由特殊到_，从个别事实中概括出_的思维模式类比推理是在_的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在_之处的一种推理模式,观察,分析,比较,联想,归纳,猜想,整体,抽象,一般,一般结论,两类不同,相同或相似,1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是
3、类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理B类比推理C没有推理D以上说法都不对答案B解析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理,牛刀小试,3等差数列an中，an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系_答案b4b8b5b7解析将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4b8b5b7.,圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合这两个定义很相似于是我们猜想圆与球会有某些相似的性
4、质试将平面上的圆与空间中的球进行类比,事物的相似性与类比,解析圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦截面圆，直径 大圆，周长 表面积，圆面积 球体积，等等于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：,方法规律总结运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等,将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.,答案四面体二面角面积表面积体
5、积,类比推理,分析考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论,(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值,在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，则在空间中，给出四面体性质的猜想,于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，三棱锥PABC中，若三个侧面PAB，PBC，
6、PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则cos2cos2cos21.,分析由PMBB1，PNBB1，可知BB1平面PMN，从而可知PNM，PMN，MPN均为相邻两侧面所成的二面角将斜三角形与斜三棱柱类比：三角形的边斜三棱柱的侧面，三角形的两边夹角斜三棱柱两侧面夹角，边长关系式面积关系式结合条件可取三棱柱的直截面PMN作为类比对象和推理出发点解答时先下结论，然后利用直截面作出证明,解析在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角PMBB1，PNBB1，BB1平面P
7、MN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.CC1平面PMN，,二面角PCC1M的平面角为MNP.在PMN中，PM2PN2MN22PNMNcosMNPPM2CCPN2CCMN2CC2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP，由于SBCC1B1PNCC1，SACC1A1MNCC1，SABB1A1PMBB1PMCC1，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos.,方法规律总结注意积累常见类比对象方程不等式，平面向量空间向量，等差数列等比数列，圆球，三角形四面体，三角形内切(外接)圆 四面体内切(外接)球，实数的运算法则与运算律平面向量的运算法则与运算律
8、，正弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质，圆椭圆，椭圆双曲线，直角三角形三侧面两两垂直的三棱锥，平行四边形平行六面体等等,我们已经学过了等比数列，是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义；(2)若an是等积数列，且首项a12，公积为6，试写出an的通项公式及前n项和公式解析(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积,类比不当致误,在下列类比推理中，正确的有_把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogay；把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsiny.把实数a，b满足：“若ab0，b0，则a0”类比平面向量的数量积，“若ab0，b0，则a0”,错解填.辨析没有抓住类比推理的实质正解填中，loga(xy)与sin(xy)都是一个整体，而a(bc)中a与bc是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的警示进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比,
