1、1.3.2杨辉三角,1.理解杨辉三角的意义.2.掌握二项式系数的性质并会应用.,1.杨辉三角关于(a+b)n展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下表的形式:,上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为“帕斯卡三角”.,名师点拨解决与杨辉三角有关的问题的一般方法:观察分析试验猜想结论证明.要得出杨辉三角中数的诸多排列规律,取决于我们的观察能力,观察的方法:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.,解析:由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23,也就是二项展开式的第14项和第15项的系数比,所以 C 13 C 14 =23,即 14 13 = 2 3 ,
2、解得n=34.答案:34,2.二项式系数的性质从杨辉三角表,可以看出二项式系数具有下面的性质:(1)表中每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.事实上,设表中任一不为1的数为 C +1 ,那么它“肩上”的两个数分别为 C 1 和 C ,由组合数的性质,有 C 0 =1, C =1, C +1 = C 1 + C .(2)每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等.,(3)如果二项式的幂指数n是偶数,那么其展开式中间一项 2 +1 的二项式系数最大;如果n是奇数,那么其展开式中间两项 +1 2 与 +1 2 +1 的二项式系数相等且最大.(4)二项展开式的二项式系数的和等于2n
3、.在(1+x)n= C 0 + C 1 1+ C 2 2+ C 0中,令x=1,则 C 0 + C 1 + C 2 + C =2n.,名师点拨性质(4)是各项的二项式系数的和,它表明,若集合S含有n个元素,那么它的所有子集(包括空集)的个数是2n个,该性质又可以写成 C 1 + C 2 + C =2n-1.,【做一做2-1】 对于二项展开式(a-b)2n+1,下列结论中成立的是()A.中间一项的二项式系数最大B.中间两项的二项式系数相等且最大C.中间两项的二项式系数相等且最小D.中间两项的二项式系数互为相反数解析:因为(a-b)2n+1的幂指数为2n+1,所以展开式共有2n+2项,所以中间两项
4、的二项式系数相等且最大.答案:B,【做一做2-2】 在(1-x)6的展开式中,含x的奇数次幂的项的系数和为() A.32B.-32C.0D.-64解析:由Tr+1= C 6 (-x)r=(-1) C 6 可知,含x的奇数次幂的项的系数和为-( C 6 1 + C 6 3 + C 6 5 )=-32.答案:B,怎样理解二项式系数的性质?剖析:展开式各项的二项式系数顺次是 C 0 =1, C 1 = 1 , C 2 = (1) 12 , C 3 = (1)(2) 123 , C 1 = (1)(2)(+2) 123(1) , C = (1)(2)(+2)(+1) 123(1) , C =1.,因为
5、与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间.当n是偶数时,n+1是奇数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为 C 2 .当n为奇数时,n+1是偶数,展开式共有n+1项,所以有中间两项.这两项的二项式系数相等并且最大,最大为 C 1 2 = C +1 2 .,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)利用“杨辉三角”展开(1-x)6;(2)在“杨辉三角”中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是345?分析:运用“杨辉三角”的性质规律可以将二项式系数直接写出来.,题型一,题型二,题型三,题型四,
6、解:(1)根据已知中的规律可以写出第6行二项式系数为1,6,15,20,15,6,1,所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令a=1,b=-x,得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+x6.(2)设在第n行出现三个相邻的数,它们的比是345,并设这三个数分别为 C 1 , C , C +1 ,题型一,题型二,题型三,题型四,则有 C 1 C = 3 4 , C C +1 = 4 5 , 化简得 3 4 = +1 , 4 5 = +1 , 解得 =62, =27. 即在第62行会出现 C 62 26 C 62 27 C
7、 62 28 =345.,题型一,题型二,题型三,题型四,求展开式中系数最大(小)项【例2】 已知 1 2 +2 .(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数的最大项的系数;(2)若展开式前3项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.分析:(1)由条件求得n的值,根据n的奇偶性确定所求的项.(2)由条件求得n的值,通过解不等式组求所要求的项.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)由已知可得 C 4 + C 6 =2 C 5 ,整理得n2-21n+98=0,解得n=7或n=14.当n=7时,展开式中二项式系数的最大的项是T4和T5,所以T4的
8、系数为 C 7 3 1 2 4 23= 35 2 ,T5的系数为 C 7 4 1 2 3 24=70.当n=14时,展开式中二项式系数的最大的项是T8,所以T8的系数为 C 14 7 1 2 7 27=3 432.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)由已知 C 0 + C 1 + C 2 =79,整理得n2+n-156=0,解得n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大.因为 1 2 +2 12 = 1 2 12 (1+4x)12,所以 C 12 4 C 12 1 4 1 , C 12 4 C 12 +1 4 +1 , 整理,解得9.4k10.4.因为kN,所以k=10.所以展开
9、式中系数最大的项为第11项,T11= 1 2 12 C 12 10 410x10=16 896x10.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时,中间两项的二项式系数最大,n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式(组)的方法求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,求展开式中的系数和【例3】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|
10、a0|+|a1|+|a2|+|a7|.分析:本题考查求二项展开式系数和问题,常用赋值法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1, 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37,(1)a0=C70=1,由得,a1+a2+a3+a7=-1-1=-2.(2)由(-)2,得a1+a3+a5+a7=-1-372=-1 094.(3)由(+)2,得a0+a2+a4+a6=-1+372=1 093.(4)(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,
11、而a1,a3,a5,a7小于零,|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7).由(2),(3)即可得其值为1 093-(-1 094)=2 187.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思(1)解决此题,可以根据问题恒等式的特点来用“赋值”法,这是一种重要的方法,它适用于恒等式.(2)一般地,对于多项式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+anxn,g(x)各项的系数和为g(1).g(x)的奇数项的系数和为 1 2 g(1)+g(-1).g(x)的偶数项的系数和为 1 2 g(1)-g(-1).,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨
12、析【例4】 9192被100除所得的余数为()A.1B.81C.-81D.992错解:D错因分析:由9192=(100-9)92,得(100-9)92= C 92 0 10092 C 92 1 100919+( C 92 91 100991)+ C 92 92 992,显然在展开式中,只有最后一项不能被100整除,故错解中认为余数为992,忽略了992远远大于100这一特征.因此它也不可能是一个余数.正解:9192=(1+90)92= C 92 0 + C 92 1 90+ C 92 2 902+ C 92 92 9092.显然除前两项外,每一项都能被100整除.因为 C 92 0 + C 92 1 90=1+9290=8 281,所以9192被100除所得余数为81,故应选B.,
