1、21.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算,学习目标,学习导航,重点难点重点：平行向量基本定理及轴上向量的坐标公式难点：平行向量基本定理及轴上向量的坐标公式的应用,一、向量共线的条件1平行向量基本定理:如果ab，则ab;反之，如果ab，且b0，则一定_，使_.,存在惟一一个实数,ab,同方向,等于1,想一想1.在平行向量基本定理中，为什么要求b0?,2若向量b与非零向量a共线，如何确定实数，使得ba?,二、轴上向量的坐标公式1轴上向量的坐标(1)规定了_和_的直线叫做轴(2)已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l_方向，对轴上任意向量a，一定存在惟一实数x,使_，x叫做a在l上的坐标(或数量),
2、方向,长度单位,同,axe,单位向量e叫做轴l的基向量x叫做a在l上的坐标(或数量)x的绝对值等于a的长，当a与e_时，x是正数，当a与e_时，x是负数(3)给定一向量e，能生成与它平行的所有向量的集合_,同方向,反方向,xe|xR,2轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的_，即设ax1e，bx2e，则ab_.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量和的坐标等于两个向量的_，即设ax1e，bx2e，则ab_.,坐标相等,x1x2,坐标的和,(x1x2)e,AB,AB,相同,相反,AC,(3)轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式：轴上向量的坐标等于向量
3、_减去_在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，于是得ABAOOBOAOB_.所以数轴上两点A、B的距离公式为|AB|_.,终点的坐标,始点的坐标,x2x1,|x2x1|,做一做3.若数轴上，A，B两点的坐标分别是3,5，则A，B两点的距离为()A8 B2C3 D2解析：选B.|AB|53|2.,【名师点评】解答本题时利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形,变式训练,【名师点评】(1)判断两个向量是否共线可转化为存在性问题解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程求解 .若有解且与题目
4、条件无矛盾则存在，反之则不存在,(2)应用该定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题另一方面当已知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向量的等量关系，为下一步运算提供一个有利条件,变式训练2若a，b都是非零向量，在什么条件下向量ab与ab共线？解：因a、b都是非零向量，不论在什么条件下向量ab与ab中至少有一个不为零向量,不妨设ab0，则由ab与ab共线，知存在实数使ab(ab)，,【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： 点E、F分别是梯形两腰的中点；证明梯形中位线的性质解答本题应首先结合图形与所求证问题，几何条件向向量条件转化，再充分利用向量线性运算与平行向量基本定理求证,【证明】如图,
5、延长EF到M，使EFFM，连接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平行四边形法则得,名师微博解答本题易出现不会构造三角形或平行四边形，从而导致向量的线性运算无法进行的情况.,【名师点评】应用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量加减法、数乘、待定系数法确定向量等式ba，再结合图形完成证明,变式训练,1已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，c6e12e2，则ab与c的关系是()A不共线 B共线C相等 D无法确定解析：选B.abe12e22e1e23e1e2，c6e12e22(3e1e2)2(ab)，ab与c共线,答案：,3已知a2c，b2c，求证：ab.证明：(1)当c0时，则a2c0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以此时a与b共线,(2)当c0时，则a2c0，b2c0，ba(这时满足定理中的a0，及有且只有一个实数1，使得ba成立)a与b共线综合(1)(2)可知，a与b共线，即ab.,方法技巧,失误防范在平行向量基本定理中，勿忘条件b0；即ab且b0，则存在惟一实数，使ab成立若b0,则b00,则b只能表示零向量了,
