1、2.1.2演绎推理,1.演绎推理(1)含义:从一般性的原理出发,推出某个_下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(2)特点:演绎推理是由_到_的推理.,特殊情况,一般,特殊,2.三段论,已知的一般原理,所研究的特殊情况,特殊情况,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)“三段论”就是演绎推理.()(2)演绎推理的结论是一定正确的.()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.(),【解析】(1)错误.“三段论”是演绎推理的一般模式,却不是演绎推理.(2)错误.在演绎推理中,只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下,其结论才是正确的.(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.答案
2、:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用演绎推理证明“y=sinx是周期函数”时的大前提是,小前提是.(2)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的是错误的.(3)推理某一“三段论”,其前提之一为肯定判断,结论为否定判断,且推理形式正确,由此可以推断,该三段论的另一前提必为判断(选填“肯定”或“否定”),【解析】2.(1)y=sinx是三角函数,而三角函数是周期函数,因此大前提为三角函数为周期函数、小前提应该为y=sinx是三角函数.答案:三角函数是周期函数y=sinx是三角函数(2
3、)小前提错误.因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.答案:小前提(3)演绎推理在大、小前提和推理形式都正确的前提下,得到结论一定正确.答案:否定,【要点探究】 知识点 演绎推理1.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是由一般到特殊的推理.,2.对“三段论”的三点说明(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前提指出了一种特殊情况,两
4、个命题结合起来,揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系,从而得到了第三个命题结论.(2)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M中的一个子集,那么S中的元素也具有性质P;若M中的元素都不具有性质P,则S中的元素也不具有性质P.(3)从以上两点可以看出:三段论推理的结论正确与否,取决于两个前提是否正确,推理形式(即S与M的包含关系)是否正确.,【微思考】合情推理与演绎推理的作用分别是什么?提示:合情推理的作用是探索方法,寻求思路,发现规律,得到猜想,而演绎推理的作用在于对由合情推理得到的结论,进行严格的证明.,【即时练】1.(2014厦门高二检测)已知幂函数f(x)=x是增函数,而y=x-1是幂函数
5、,所以y=x-1是增函数,上面推理错误是()A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理的方式错误导致错D.大前提与小前提都错误导致错【解析】选A.大前提为:f(x)=x是增函数,在f(x)=x中当0时f(x)为增函数,显然大前提是错误的.,2.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为:大前提.小前提.结论.,【解析】根据三段论模式分析题意可知:一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线,大前提y=2x+5是一次函数,小前提函数y=2x+5的图象是一条直线.结论答案:一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线y=2x+5是一次函数函数y=2x+5的图象是一条直线,【题型
6、示范】 类型一 用三段论证明几何问题【典例1】(1)(2014湛江高二检测)推理:“矩形是平行四边形;正方形是矩形;所以正方形是平行四边形”中的小前提是.(2)证明:如果梯形的两腰和一底相等,那么它的对角线必平分另一底上的两个角.,【解题探究】1.题(1)中的推理是什么形式?2.题(2)中证明的方法和步骤是什么?【探究提示】1.题中的推理是三段论的形式.2.先将文字语言转化为几何语言,利用平行线的性质去寻求角的关系.,【自主解答】(1)推理:“矩形是平行四边形,正方形是矩形,所以正方形是平行四边形”中:矩形是平行四边形,大前提正方形是矩形,小前提所以正方形是平行四边形.结论答案:,(2)已知在
7、梯形ABCD中(如图所示),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证:CA平分BCD,BD平分CBA.证明:等腰三角形的两底角相等,大前提DAC是等腰三角形,DC=DA,小前提1=2.结论两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,大前提1和3是平行线AD,BC被AC所截的内错角,小前提1=3.结论,等于同一个量的两个量相等,大前提2,3都等于1,小前提2和3相等.结论即CA平分BCD.同理BD平分CBA.,【方法技巧】1.用三段论证明命题的步骤(1)理清楚证明命题的一般思路.(2)找出每一个结论得出的原因.(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.,2.三段论中的三个判断三段论是由三
8、个判断组成的,其中的两个为前提,另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断,叫做大前提,通常是已知的公理、定理、定义等;第二个判断是和大前提有联系的特殊情况,叫做小前提,通常是已知条件或前面证明过程中推理的第三个判断;第三个判断为结论.在推理论证的过程中,一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成,而大前提通常省略不写,或者写在结论后面的括号内,小前提有时也可以省去,而采取某种简明的推理格式.,【变式训练】如图,ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,DEBA.求证ED=AF,写出“三段论”形式的演绎推理.,【解题指南】只需证明四边形AEDF为平行四边形即可.,【
9、证明】因为同位角相等,两直线平行,大前提BFD与A是同位角,且BFD=A,小前提所以FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提DEBA,且FDAE,小前提所以四边形AFDE为平行四边形.结论因为平行四边形的对边相等,大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边,小前提所以ED=AF.结论,【补偿训练】已知在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,如图所示,求证:EF平面BCD(指出大前提,小前提及结论).,【证明】因为三角形中位线与第三边平行,大前提点E,F分别是AB,AD的中点,EF是ABD的中位线,小前提所以EFBD.结论因为平面外一条直线与平面内一条直线平
10、行,则该直线与平面平行,大前提EF平面BCD,BD平面BCD,EFBD,小前提所以EF平面BCD.结论,类型二 演绎推理在代数证明中的应用【典例2】(1)(2014温州高二检测)由“(a2+a+1)x3,得x ”的推理过程中,其大前提是.(2)已知函数f(x)=ax+ (a1),证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数.,【解题探究】1.题(1)中的大前提怎样找?2.题(2)中证明的方法是什么?【探究提示】1.将推理过程写成三段论的形式.2.利用增函数的定义或利用f(x)0证明.,【自主解答】(1)该推理过程写成三段论形式:不等式两边同除以一个正数,不等号的方向不变,大前提(a2+a+1)x
11、3,a2+a+1大于0,小前提x .结论答案:不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变,(2)方法一:(定义法)任取x1,x2(-1,+),且x10,且a1,所以 1.而-10,x2+10,所以f(x2)-f(x1)0,所以f(x)在(-1,+)上为增函数.,方法二:(导数法)f(x)= 所以f(x)=axlna+ .因为x-1,所以(x+1)20,所以 0.又因为a1,所以lna0,ax0,所以axlna0.所以f(x)0.于是得f(x)=ax+ 在(-1,+)上是增函数.,【方法技巧】代数问题中的常见的利用三段论证明的命题(1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.(2)
12、导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等.(3)三角函数的图象与性质.(4)数列的通项公式、递推公式以及求和,数列的性质.(5)不等式的证明.,【变式训练】证明f(x)=x3+x在R上为增函数,并指出证明过程中所运用的“三段论”.,【证明】在R上任取x1,x2,且x10.因为f(x)=x3+x,所以f(x2)-f(x1)=( +x2)-( +x1)=( - )+(x2-x1)=(x2-x1)( +x2x1+ +1)=(x2-x1),因为 所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以f(x)=x3+x在R上是增函数.在证明过程中所用到的“
13、三段论”:大前提是“增函数的定义”,小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义”,结论是“f(x)是增函数”.,【补偿训练】已知数列an满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN*).(1)证明:数列an+1-an是等比数列.(2)求数列an的通项公式.,【解析】(1)因为an+2=3an+1-2an,所以an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an),所以 =2(nN*)而a2-a1=2.所以数列an+1-an是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n
14、-2+22+21+1= +1=2n-1.,【拓展类型】拓展类型演绎推理与合情推理的关系【备选典例】1.(2013东莞高二检测)下列推理过程是演绎推理的为()A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.我们由a1=1,a2=3,a3=5,推测得an=2n-1(nN*)D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2.用三段论写出求解下题的主要解答过程.若不等式|ax+2|6的解集为(-1,2),求实数a的值.,【解析】1.选D.根据题意,对于A人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为 ,这是归纳推理.B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
15、,根据其原理来制造相同的物体,这是类比推理.C.由a1,a2,a3,归纳得出an的通项,是归纳推理.D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数,是演绎推理,故选D.,2.推理的第一个关键环节:大前提:如果不等式f(x)0的解集为(m,n),且f(m),f(n)有意义,则m,n是方程f(x)=0的实数根,小前提:不等式|ax+2|0,那么x=a,小前提:|-a+2|=6且|2a+2|=6,结论:-a+2=6且2a+2=6.可得出结论a=-4.,【方法技巧】应用演绎推理的一般思路在运用演绎推理,即三段论证明问题时要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大
16、前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论.,【易错误区】忽略大前提而致误【典例】(2014深圳高二检测)已知2sin2+sin2=3sin,则sin2+sin2的取值范围为.,【解析】由2sin2+sin2=3sin得sin2+sin2=-sin2+3sin因为0sin21,sin2=3sin-2sin2,所以03sin-2sin21.解之得sin =1或0sin ,令y=sin2+sin2,当sin=1时,y=2.当0sin 时,0y .所以sin2+sin2的取值范围是0, 2.答案:0, 2,【常见误区】,【防范措施】1.正确理解大前提解题过程中,要对大前提把握好,正确认识大前提是解题的关键,如本例中sin的取值范围.2.挖掘题中的隐含条件解题时要对题目中的隐含条件挖掘到位,不能遗漏,否则会出现失误,如本例中sin=1易漏掉.,【类题试解】设,(0, )，且tan =tan = tan = 则+=_.,【解析】tan(+)=由tan = 且(0, )得0 ,tan =知(0, ).由tan = 得(0, )，所以+(0, )，所以+= .答案：,
