1、第三章 数系的扩充与复数的引入,3.1 数系的扩充和复数的概念,3.1.1 数系的扩充和复数的概念,问题提出,1.数的概念产生和发展的历史进程：,N,Q,R,R,数系每次扩充的基本原则：,第一，增加新元素；,第二，原有的运算性质仍然成立；,第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.,2.若 ，则 对此你有什么困惑？,3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.,数系的扩充和复数的概念,探究（一）：虚数单位的引入,思考1：由 得 ，这与 矛盾的原
2、因是什么？,方程x2x10无实根,思考2：方程x2x10无实根的根本原因是什么？,1不能开平方,思考3：我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是1的平方根，即 i21，那么方程x2x10的根是什么？,思考4：若x41，利用i21,则x等于什么？,1，1，i，i.,思考5：满足i21的新数i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？,乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.,思考6：设aR，下列运算正确吗？,探究（二）：复数的有关概念,思考1：虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？,abi（a，bR）,思
3、考2：把形如abi（a，bR）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？,Cabi|a，bR,思考3：复数通常用字母z表示，即 zabi（a，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数 z 3i的实部和虚部分别是什么？,实部为 ,虚部为3.,思考4：两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：abicdi（a，b，c，dR）的充要条件是ac且bd，那么abi0的充要条件是什么？,ab0,思考5：对于复数zabi（a，bR）当b0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？,当b0时z为实数.,实数集R是
4、复数集C的真子集.,思考6：对于复数zabi（a，bR）当b0时，z叫做虚数，当a0且b0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？,纯虚数集是虚数集的真子集.,思考7：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,实数,虚数,思考8：两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？,虚数不能比较大小.,理论迁移,例1 实数m取什么值时，复数zm1(m1)i分别是实数，虚数和纯虚数？,当m1时，z是实数；当m1时，z是虚数；当m1时，z是纯虚数.,例2 设复数z1(xy)(x3)i，z2(3x2y)yi，若z1z2，求实数x，y的值.,x9，y6.,小结作业,1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.,2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成 abi（a，bR）的形式.,3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x20； 若xy0，则xy等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.,作业：P104练习：1，2，3. P106习题3.1A组：1，2.,
