1、12排列与组合,计数原理,1.2.2组合(一),1通过实例,理解组合的概念2明确组合与排列的区别与联系3能利用计数原理推导组合数公式,并能解决简单的实际问题,基础梳理,1组合的概念:从n个不同元素中任取m个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,组合的个数叫组合数,用_表示(1)不同元素;(2)“只取不排”无序性;(3)相同组合,元素相同,5,4,4组合与排列的区别与联系例如:从a,b,c三个不同元素中取出两个元素的排列有_个,而取出两个元素的组合只有_这三种情况下列问题是排列还是组合?(1)A、B、C、D、E五个人在假期里约定互通一封信,总共要写多少封信_.,ab,ac,b
2、c,排列,(2)A,B,C,D,E五个人在假期里约定互通一次电话,他们总共通几次电话_. (3)一个班里有35名同学,要选三个代表去参加会议,有几种选法_.(4)过平面上五点(无三点共线)中的任意两点,可作多少条不同的直线_.5写出从四个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有组合:_.,abc,abd,acd,bcd,组合,组合,组合,自测自评,3给出下面几外问题,其中是组合问题的有()由1,2,3,4构成的2个元素的集合;五个队进行单循环比赛的分组情况;由1,2,3组成两位数的不同方法数;由1,2,3组成无重复数字的两位数ABCD,8,2或4,C,4(2011年广东卷)正五棱柱中,不同在任何
3、侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A20 B15 C12 D10,D,组合的概念的理解,判断下列问题是排列问题,还是组合问题:(1)从1,2,3,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?(2)从1,2,3,9这九个数字中任取3个组成一个集合,这样的集合有多少个?分析:取出元素之后,在安排这些元素时,与顺序有关则为排列问题,与顺序无关则为组合问题,解析:(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题(2)取出3个数字后,无论怎样改变这些数
4、字之间的排列顺序,其构成的集合都不变,故此问题只与取出的元素有关,而与元素的排列顺序无关,是组合问题点评:区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合问题,跟踪练习,1判断下列两个问题是排列问题还是组合问题:(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同选法?(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加农村社会调查,有多少种不同的选法?,答案:(1)组合(2)组合,与组合数有关的计算,分析:(1)先用组合数两个性质化简,再用组合数公式的乘积形式计算(2) 的限制条件为:m,nN*,且mn,以此得到n的值,
5、再求值(3)利用组合数公式的阶乘形式证明,跟踪练习,含组合数的方程或不等式,解析:(1) ,x2x5x5,或x2x5x516.解得x1或x5.解得x3或x7.经检验知,原方程的解是x1或x3.,跟踪练习,3已知,组合数的简单应用,要从12个人中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?(1)A、B、C三人必须当选;(2)A、B、C三人不能当选;(3)A、B、C三人中只有一人当选,解析:(1)A、B、C三人必须当选,再从其他9个人中选出2人,则可组成5人小组,共有选法 36(种)(2)A、B、C三人不能当选,须从其他9个人中选出5人,共有选法种数为 126(种),答案:(1)36(
6、2)126(3)378,跟踪练习,4一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5个球(1)共有多少种不同的取法?(2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?(3)其中若不含红球,共有多少种不同的取法?,( ),D,2将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A252种 B112种 C20种 D56种,答案:B,3已知 ,则x的值为()A11 B12 C13 D14,A,A,4某校一年级有5个班,二年级有8个班,三年级有3个班,分年级举行班与班之间的篮球单循环赛,总共需进行比赛的场数是(),5以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有()A6个
7、B12个 C18个 D30个,6集合Ax|x ,n是非负整数,集合B1,2,3,4,则下列结论正确的是()AAB0,1,2,3,4 BA BCAB1,4 DA B,B,C,7从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法有()A40种 B60种 C100种 D120种,答案:B,8,答案:161 700,9从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有_种,答案:(1)排列(2)组合,34,10判断下面的问题应视为排列问题还是组合问题:(1)10个人相互之
8、间写一封信交流信息,共需写多少封信?(2)10个人相互之间握一次手,共需握多少次手?,11已知: 135,求n,r的值,12平面内有10个点,其中任何3个点不共线,以其中任意2个点为端点(1)线段有多少条?(2)有向线段有多少条?,解析:(1)所求线段的条数,即为从10个元素中任取2个元素的组合,共有 45(条)即以10个点中的2个点为端点的线段共有45条(2)所求有向线段的条数,即为从10个元素中任取2个元素的排列,共有 10990(条)即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条,1组合定义的理解(1)组合要求n个元素是不同的,被取的m个元素也是不同的,即从n个不同元素中进行m次不放回地取出(2)取出的m个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合的特点特别提醒:辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合问题,2组合数公式的应用 一般用于化简证明.,感谢您的使用,退出请按ESC键,本小节结束,