1、1知识与技能理解空间向量基本定理了解基向量、基底的概念2过程与方法会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量,重点：空间向量基本定理难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量,1用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的2空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底3由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念,4用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四
2、边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”,1空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p.(2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 ，空间任何三个的向量都可构成空间的一个基底,xaybzc,a，b，c,基向量,不共面,2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为)(2)空间直角坐标系以e1，e2，e
3、3的为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.,单位正交基底,公共起点O,e1，e2，e3,(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p一定可以把它 ，使它的与原点O重合，得到向量 p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得.我们把称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p ,平移,起点,pxe1,ye2ze3,x、y、z,(x，y，z),例1若a，b，c是空间的一个基底试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底分析由题目可获取以下主要信息：a，b，c是空间的一个基底；判断ab，bc，ca是否也可作为该空间的一个基底解答本题可
4、先用反证法，判断ab，bc，ca是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底,解析假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底a，b，c不共面ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底,点评判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断,设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间的基底的向量组有_个答案3解析都可以作为空
5、间的一组基底，对于，xab，显然a，b，x不能作为空间的一个基底.,点评用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示,分析若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为axe1ye2ze3，则(x，y，z)就是a在基底e1，e2，e3的坐标,点评(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为e1，e2，e3，ae1e2ke3，则a的坐标为(，k)(2)由(2)的结论可见， 的坐标等于终点的坐标减去起点A的坐标,例5设a，b，c是三个不共面的向量，现从ab，ab，ac，bc，abc中选
6、出一个，使其与a，b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量有_误解容易错填为.,正解,答案B,2如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确的是()A若b与c不共线，则a、b、c、d共面B若b与c共线，则a、b、c、d共面C当且仅当c0时，a、b、c、d共面D若b与c不共线，则a、b、c、d不共面答案A,答案D,二、填空题4若a3e12e2e3，e1，e2，e3为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为_答案(3,2，1),5设命题p：a，b，c为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的_条件答案充分不必要解析a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c一定不共面，则它们三者中无零向量，反之，若a，b，c是三个非零向量，它们可能共面，此时a，b，c不可能成为空间的一个基底,
