1、理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系,第1课时 空间向量与平行关系,3.2立体几何中的向量方法,【课标要求】,【核心扫描】,求直线的方向向量、平面的法向量(重点)用方向向量、法向量处理线线、线面、面面间的平行关系(重点、难点),1,2,1,2,直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线_的向量想一想：直线的方向向量唯一吗？若不唯一，它们之间有怎样的关系？提示不唯一直线的方向向量有无数条，它们都是平行向量,自学导引,1,平行或共线,平面的法向量直线l，取直线l的_，则a叫做平面的法向量想一想：平面的法向量唯一吗？若不唯一，它们之间的
2、关系怎样？提示不唯一，平面的法向量有无数条，它们都是平行向量空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmab_a1a2，b1b2，c1c2(R)(2)线面平行,2,3,方向向量a,ab,设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lau_ _ _ (3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uv_ _ (R)试一试：证明过程中，如何确定直线的方向向量和平面的法向量？提示实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表示的向量，平面的法向量
3、一般可建系后用待定系数法求出,au0,a1a2b1b2,uv,a1a2，b1b2，c1c2,c1c20,平面法向量的求法(1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量(2)当已知平面内两不共线向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)时，常用待定系数法求法向量：,名师点睛,1,在上述方程组中，对x，y，z中的任一个赋值，求出另两个，所得n即为平面的法向量,用向量方法证明空间中的平行关系,2,向量法解决几何问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系，把几何问题转化为向量问题(2)进行向量的加减、数乘、数量积运算，得出向量运算的结果(3)把向量运算的结果转化为相应的几
4、何问题的结果,3,题型一利用方向向量和法向量判定线面位置关系,(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：a(4，6，2)，b(2，3，1)；a(5，0，2)，b(0，1，0)；(2)设u，v分别是不同的平面，的法向量，根据下列条件判断，的位置关系；,【例1】,u(3，0，0)，v(2，0，0)；(3)设u是平面的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面与l的位置关系；u(2，2，1)，a(6，8，4)；u(2，3，0)，a(8，12，0)思路探索 可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系解(1
5、)a(4，6，2)，b(2，3，1)，a2b，ab，l1l2.a(5，0，2)，b(0，1，0)，ab0，ab，l1l2.,规律方法 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性,根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系(1)直线l1、l2的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8，2，2)；(2)平面、的法向
6、量分别是u(1，3，0)，v(3，9，0)；(3)直线l的方向向量、平面的法向量分别是a(1，4，3)，(2，0，3)；(4)直线l的方向向量、平面的法向量分别是a(3，2，1)，u(1，2，1),【变式1】,解(1)a(1，3，1)，b(8，2，2)，ab8620，ab，l1l2.(2)u(1，3，0)，v(3，9，0)，v3u，uv，.(3)a(1，4，3)，u(2，0，3)，a与u即不共线，也不垂直，l与平面斜交(4)a(3，2，1)，u(1，2，1)，au3410，au，l或l.,思路探索 可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量,题
7、型二求平面的法向量,【例2】,规律方法 平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴,已知点A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，求平面ABC的一个法向量,【变式2】,(12分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.,题型三利用空间向量证明平行问题,【例3】,证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)、A(2，0，0)，
8、C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，,规律方法 利用向量法解此类题的关键是建立适当的坐标系，求出平面的法向量，通过分析直线的方向向量、平面的法向量之间的关系进行证明,如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点求证：平面AMN平面EFDB.,【变式3】,证明如图，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，,探索性、存在性问题是条件不完备和结论不
9、确定的问题，这类问题对学生解决问题、处理问题的能力要求较高立体几何中的探索性、存在性问题，是比较有思维层次的，对能力要求非常高利用向量的方法，可以将这类问题由立体几何问题转化成为代数的方程式或不等式的解的问题，降低了问题的难度,方法技巧探索性、存在性问题的解题技巧,思路分析可先建系，写出直线的方向向量与平面的法向量，再用待定系数法确定点E.解分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，,【示例】,方法点评 探索性、存在性问题的处理思路，一般是先假设存在，根据题目条件去求解，空间向量的应用对已知平行的条件提供了更广阔的适用空间,单击此处进入 活页规范训练,
