1、22条件概率与事件的独立性,22. 1条件概率22. 2事件的独立性,学习目标,学习导航,重点难点重点:条件概率和相互独立事件的概念难点:利用条件概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式解题,一、条件概率1.定义:对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做_,用符号“_”来表示,读作“A发生的条件下B发生的概率”,条件概率,P(B|A),类似地,事件B发生时事件A发生的条件概率记为“_”,读作“_”2.事件的交(或积)由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的_(或_),记作_ (或_),P(A|B),B发生的条件下A发生的概率,交,积,DAB,DAB,想
2、一想1.P(B|A)与P(AB)有何区别?提示:P(B|A)的值是B发生相对于事件A发生的概率的大小;而P(AB)是AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)P(AB),二、相互独立事件1.定义:一般地,事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即_,则称两个事件A,B_,并把这两个事件叫做_若n个事件A1,A2,An,如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称这n个事件相互独立,P(B|A)P(B),相互独立,相互独立事件,2.相互独立事件的性质一般地,若事件A,B相互独立,则_,_与B,_与B也相互独立3.相互独立事件同时发生的概率(1)两个相互独立事件同时发生的
3、概率,等于每个事件发生的概率的_,即_,A与B,A,A,积,P(AB)P(A)P(B),(2)如果事件A1,A2,An相互独立,则这n个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)并且上式中任意多个事件Ai_,等式仍成立,换成其对立事件后,想一想2.若事件A与B相互独立,则P(AB)P(A)P(B),其与P(AB)P(A|B)P(B)矛盾吗?提示:它们并不矛盾,若事件A与B相互独立,则P(A|B)P(A),在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题,求:(1)第1次抽到理科题的概率;(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;(
4、3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率,【名师点评】在具体到每一个事件的求解过程中,古典概型起着重要的作用,条件概率也还是一种概率,因此,事实上仍可以按照古典概型的一般定义考虑求解的方法,变式训练1.设10件产品中有4件不合格,从中任意取出2件,那么在所取得的产品中发现有一件不合格品,求另一件也是不合格品的概率,一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A一个家庭中既有男孩又有女孩,B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形,讨论A与B的独立性:,(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩 【解】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为(男,男),(男,女
5、),(女,男),(女,女),,【名师点评】当两个事件A,B互斥时,有加法公式P(AB)P(A)P(B);当两个事件相互独立时,则有乘法公式P(AB)P(A)P(B),变式训练2.掷3枚质地均匀的硬币,设A表示事件第一枚正面朝上,事件B表示3枚结果相同,试判定A与B独立吗?,名师微博认清事件A、B、C相互独立是解题关键.,【名师点评】当直接计算所求概率较复杂时,可先计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率,当题目中含“至多”或“至少”等词语时,一般用这种方法,互动探究3.在题设条件不变的前提下,求:(1)只有一个机构研制出疫苗的概率;(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率,一个袋中有6个黑
6、球,4个白球(1)依次不放回地取出3个球,则第一次取出的是白球,求第三次取到黑球的概率(2)有放回地依次取出3个球,已知第一次取到的是白球,求第三次取到黑球的概率(3)有放回地依次取出3个球,求取到白球数X的分布列,【解】(1)设“第一次取到白球”为事件A, “第二次取到白球”为事件B,“第三次取到白球”为事件C,则在A发生的条件下,袋中只剩6个黑球和3个白球,【名师点评】本题属于概率中的综合问题,涉及条件概率的求法,对相互独立事件的理解,有较高的区分度,解题时应加强对“有放回”和“无放回”的正确理解,准确选择合适的概率类型及公式进行求解,互动探究4.若将第(3)问改为“求取到的白球数不少于两
7、个的概率”,应怎样求解?,3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率,解:如图所示,记这段时间内开关KA、KB、KC能够闭合为事件A、B、C.由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是,方法技巧,2.判定两个事件相互独立的方法(1)定义法:如果A、B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A、B为相互独立事件(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响,如例2.3.事件A、B相互独立,则P(AB)P(A)P(B)注意与事件互斥区别,如例3.,失误防范1.求复杂事件的概率时,先判断事件间的关系,是互斥还是独立,特别对“至多”“至少”等问题,可分成互斥事件求概率,也可用对立事件求概率,如例3,例4.,2.在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义,已知两个事件A、B,它们的概率分别为P(A)、P(B),那么:A、B中至少有一个发生的事件为AB;A、B都发生的事件为AB;,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,