1、了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形,2.2.1 椭圆及其标准方程,2.2椭圆,【课标要求】,【核心扫描】,利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程(重点)会求简单的与椭圆相关的轨迹问题(难点),1,2,1,2,椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的_的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，_叫做椭圆的焦距想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F
2、2|时，动点的轨迹不存在,自学导引,1,距离之和等于常数(大于|F1F2|),焦点,两焦点间的距离,椭圆的标准方程,(ab0),(ab0),(c，0)，(c，0),(0，c)，(0，c),a2b2,2,试一试：已知椭圆的标准方程中a5，b4，则椭圆的标准方程是什么？,椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理(2)椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体或者配方等灵活运用,名师点睛,1,
3、椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2b2c2且ab0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上较大的分母是a2，较小的分母是b2.,2,求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为,确定未知量：根据已知条件
4、列出关于a、b、c的方程组，解方程组，可得a、b的值，然后代入所设方程即可,3,题型一用待定系数法求椭圆的标准方程,求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；,【例1】,思路探索 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解，但要注意焦点位置对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)然后代入已知点求出A、B.,规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，
5、即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程,求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.,【变式1】,思路探索 可先利用a，b，c三者关系
6、求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|PF2|，最后求出SF1PF2.,题型二椭圆定义的应用,【例2】,由余弦定理知：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30|F1F2|2(2c)24式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20,规律方法 在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系在解题中，经常把|PF1|PF2|看作一
7、个整体来处理,解如图所示，由已知：a5，AF1B的周长l|AF1|AB|BF1|(|AF1|AF2|)(|BF2|BF1|)4a20.,【变式2】,(12分)已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程,题型三与椭圆有关的轨迹问题与椭圆有关的轨迹问题,【例3】,规范解答 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示. 2分,由|BC|8，可知点B(4，0)，C(4，0)由|AB|AC|BC|18，得|AB|AC|10， 6分因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10； 8
8、分但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169. 10分,【题后反思】 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程特别注意点A不在x轴上，因此y0.,已知动圆M过定点A(3，0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264.求动圆圆心M的轨迹方程解设动圆M的半径为r，则|MA|r，|MB|8r，|MA|MB|8，且8|AB|6，动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3，0)，B(3，0)，且2a8，a4，c3，b2a2c21697.,【变式3】,在本节内容中，最常见的分类讨论是因焦点的位置不确定而引起的讨论 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程思路分析 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置，进行分类讨论,方法技巧分类讨论思想在椭圆中的应用,【示例】,方法点评 本题要求根据椭圆上的点和长短轴之间的关系求标准方程，考查椭圆的标准方程和思考问题的全面性；椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的形状的，因而要考虑两种情况,单击此处进入 活页规范训练,
