1、3.2.2空间线面关系的判定,第3章空间向量与立体几何,学习目标重点难点重点:运用直线的方向向量、平面的法向量判断有关平行、垂直问题.难点:用向量法判断空间线面关系.,学习导航,用向量语言表述空间直线与平面的位置关系设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为l1,l2,两个平面1,2的法向量分别为n1,n2,则有下表:,l1l2,l1n1,n1n2,想一想1.证明过程中,如何确定直线的方向向量和平面的法向量？提示:实际应用中,直线的方向向量即把线段看作有向线段时表示的向量.平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出.,做一做2.(1)已知m(8,3,a),n(2b,6,5),若mn,则ab的值为_
2、.(2)已知m(1,5,2),n(a,2,a2),若mn,则a的值为_.,题型一证明直线与平面平行 在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C平面ODC1.,【名师点评】向量法证明几何中的平行问题,可以有两个途径:一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线;二是通过建立空间直角坐标系,依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直,来证明平行.,变式训练1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.证明:如图,以点D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标,题型二证明线面垂直
3、在正方体ABCDA1B1C1D1中,证明:BD1平面ACB1.【证明】法一:如图,以D为原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则B(1,1,0)、D1(0,0,1)、A(1,0,0)、B1(1,1,1)、C(0,1,0).,【名师点评】(1)证明线面垂直,即证明线线垂直,但必须是平面内的两条相交直线;(2)若一条直线的方向向量与平面的法向量共线,则直线与平面垂直.,题型三证明面面垂直 (本题满分14分)在正棱锥PABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是PAB的重心,E、F分别为BC、PB上的点,且BEECPFFB12.(1)求证:平面EFG平面
4、PBC;(2)求证:EG是PG与BC的公垂线段.【思路点拨】由题意知建系用坐标法.,【证明】(1)如图所示,以三棱锥的顶点P为原点,以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.(2分)令PAPBPC3,则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0),(4分),【名师点评】证明面面垂直通常有两种方法:一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互相垂直.,1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,AA11,求证:平面A1BD平面B1D1C.,2.在正三
5、棱柱ABCA1B1C1中,B1CA1B,求证:AC1A1B.,方法技巧1.用空间向量解决空间线面关系的三步曲一是用空间向量表示问题中涉及的点、线、面.二是通过向量的运算,研究点、线、面之间的位置关系.三是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.,4.用向量法证明面面平行(1)转化为线线平行;(2)转化为线面平行;(3)如图,设n,m分别是平面,的法向量,若nm,则 .,5.用向量法证明两直线垂直如图,设e1,e2分别是两直线l1,l2的方向向量,则l1l2e1e20.,6.用向量法证明直线与平面垂直如图,设直线l的方向向量为e,平面的法向量为n,与平面平行的两不共线向量设为a,b.(1)ea0,eb0l.(2)en存在,使enl.,7.用向量法证明面面垂直如图,设n,m分别是平面,的法向量,若nm0,则.,失误防范利用向量法解空间线面关系的判定问题的关键是建立适当的坐标系,求出直线的方向向量与平面的法向量,把证明线面关系转化为向量关系即可,要注意建立的坐标系适当与方向向量、法向量求解的正确.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
