1、1.线面垂直的定义(1)定义:如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直,就说直线a与平面互相垂直,记作a.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面,垂线和平面的交点叫做垂足.(2)惟一性定理:过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)点面距、线面距:从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离;一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.,交流1(1)如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直吗?(2)若l,则直线l到的距离就是l上任意一点到平
2、面的距离.这种说法对吗?为什么?答案：(1)不一定.如果平面内的那无数条直线都互相平行,那么直线与平面的位置关系可能是斜交、垂直、平行、在平面内.(2)正确.因为直线l上各点到平面的距离都相等.,2.线面垂直的判定定理及性质定理(1)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.用符号表示为若am,an,mn=A,m,n,则a.(2)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.用符号表示为a,b,则ab.交流2在直线与平面垂直的判定定理中,若去掉mn=A,结论还成立吗?答案：不一定.如图正方体中m,n,lm,ln,但l,故定理中的“两条相交直
3、线”是不可缺少的条件.,3.直线与平面所成的角线面角:一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角为直角;一条直线与平面平行或在平面内,则它们所成的角是0的角.交流3平面的一条斜线与平面所成的角的范围是什么?任意一条直线与平面所成的角的范围呢?答案：平面的一条斜线与平面所成的角的范围是090;任意一条直线与平面所成的角的范围是090.,典例导学,一,二,三,即时检测,一、线面垂直
4、的判定定理及应用如图,在ABC中,ABC=90,D是AC的中点,S是ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC. (导学号51800031),(1)求证:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.思路分析：题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,ABBC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,可利用(1)的结论.,典例导学,一,二,三,即时检测,证明：(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SDAC.在RtABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以AD
5、SBDS,所以SDBD.又ACBD=D,所以SD平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知SDBD,因为SDAC=D,所以BD平面SAC.,典例导学,一,二,三,即时检测,1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,现在沿DE,DF及EF把ADE,CDF,BEF折起,使A,B,C三点重合于点P,则DP平面.解析：A,B,C重合于一点P,且ADAE,DCCF,PDPE,DPPF(将A,C换成P).DP平面PEF.答案：PEF,典例导学,一,二,三,即时检测,2.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,M是圆周上任意一点,ANPM,垂足为N.
6、求证:AN平面PBM.证明：设圆O所在平面为,已知PA,且BM,PABM.又AB为O的直径,点M为圆周上一点,AMBM.由于直线PAAM=A,BM平面PAM.而AN平面PAM,BMAN.又PMAN,PMBM=M,AN平面PBM.,典例导学,一,二,三,即时检测,判定直线与平面垂直的方法:应用直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要方法.如果在一个问题的条件中,出现较多的线线垂直或线面垂直,那么证线面垂直常会选择直线与平面垂直的判定定理,关键是找平面内的两条相交直线与已知直线垂直.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、线面垂直性质定理的应用如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点
7、E,F分别在A1D,AC上,且EFA1D,EFAC. (导学号51800032)求证:EFBD1.思路分析：题目条件中给出了线线垂直,通过转化可证得线面垂直,要证EFBD1,只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可,由条件可知这里当然选择平面AB1C.,典例导学,即时检测,一,二,三,证明：如图所示,连结AB1,B1C,BD,B1D1.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD且BDDD1=D,AC平面BDD1B1.BD1平面BDD1B1,BD1AC.同理可证BD1B1C,又ACB1C=C,BD1平面AB1C.EFA1D,A1DB1C,EFB1C.又EFAC且ACB1C=C,
8、EF平面AB1C,EFBD1.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.已知ABC在平面内,A=90,DA平面,则CA与DB的位置关系是.解析：DA平面,AC平面,DAAC.又ACAB,ABDA=A,AC平面ABD.BD平面ABD,ACBD.答案：垂直,典例导学,即时检测,一,二,三,2.已知:=AB,PQ于Q,PO于O,OR于R.求证:QRAB.证明：如图,=AB,PO于O,POAB.PQ于Q,PQAB.POPQ=P,AB平面PQO.OR于R,PQOR.PQ与OR确定平面PQRO,又QR平面PQRO,QRAB.,典例导学,即时检测,一,二,三,证明线线平行常有如下方法:(1)利用线线平行定义证共
9、面且无公共点;(2)利用三线平行公理证两直线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理把证线线平行转化为证面面平行.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、线面距、线面角的有关问题RtABC在平面内,点P在平面外,P到直角顶点A的距离为8,到两条直角边的距离均为5 ,求:(导学号51800033)(1)P到平面的距离;(2)PA与平面所成角的正弦值.思路分析：(1)要求P到平面的距离,于是我们过P作PO于点O,再利用勾股定理求得P到平面的距离.(2)容易证明PAO即为PA与
10、平面所成角,可在RtPAO中应用锐角三角函数定义求得.,典例导学,即时检测,一,二,三,解：(1)如图,过点P作PO于点O,作ODAB于点D,连结PD.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.(2016浙江杭州高二联考)如图,在三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是正三角形,AA底面ABC,且AB=1,AA=2,则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为. (导学号51800034),典例导学,即时检测,一,二,三,解析：如图所示,取AB的中点D,连结CD,BD.底面ABC是正三角形,CDAB.AA底面ABC,AACD.又AAAB=A,CD侧面ABBA,CBD是直线BC与平面ABBA所成的角.,典例
11、导学,即时检测,一,二,三,2.在三棱锥P-ABC中,ACB=90,PA=PB=PC,AC=18 cm,P到BC的距离为41 cm,则P到平面ABC的距离为. (导学号51800035)解析：过P作PO平面ABC,垂足为O,由PA=PB=PC知O是ABC的外心,又ABC为直角三角形,O为斜边AB的中点.作OMAC,则OMBC,且M为BC的中点.又PC=PB,BCPM.,答案：40 cm,典例导学,即时检测,一,二,三,不论是求点面距还是求线面角,都离不开证线面垂直,有了线面垂直,便可找到垂线段,得出点面距;有了线面垂直,才有射线在平面内的射影,才能找出线面角.解此类题的一般步骤是作(找)证算(
12、求).,典例导学,1,2,3,4,即时检测,1.已知m,n,l是三条直线,是两个平面,下列命题中,正确的是()若l垂直于内两条直线,则l若l平行于,则内有无数条直线与l平行若m,m,n,则mn若l,m,则lmA.B.C.D.解析：应是内两条相交直线,不正确;正确,过l的平面与平面有无数条交线,这些交线都与l平行;m与n还可能异面,不正确;正确.答案：C,典例导学,即时检测,1,2,3,4,2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是.(填“垂直”或“不垂直”)解析：如图,由已知假设lAB,lAC.ABAC=A,不妨假设AB与AC共面于,则l.又BC,lBC.答案：
13、垂直,典例导学,即时检测,1,2,3,4,3.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是. (导学号51800036)解析：取BC的中点D,连结PD,AD.AB=AC,ADBC.又PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.ADPA=A,BC平面PAD.PD平面PAD,PDBC,PD的长度就是P到BC的距离.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,CD=3,AD=4.在RtPAD中,PD2=PA2+AD2=82+42=80,PD=4 .,典例导学,即时检测,1,2,3,4,4.如图,PA正方形ABCD所在平面,经过A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G.求证:AEPB.证明：PA平面ABCD,PABC.又四边形ABCD是正方形,ABBC.而ABPA=A,BC平面PAB.AE平面PAB,BCAE.由PC平面AEFG,有PCAE,PCBC=C,AE平面PBC.PB平面PBC,AEPB.,
