1、第2章,圆锥曲线与方程,2.4.2抛物线的几何性质,学习目标1.掌握抛物线的几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接,类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y22px (p0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？答：(1)范围：x0，yR；(2)对称性：抛物线y22px (p0)关于x轴对称；(3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率.用e表示，由定义可知e1.,预习
2、导引,1.抛物线的几何性质,x0,x0,y0,y0,2.焦点弦直线过抛物线y22px (p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AFx1 ，BFx2 ，故AB .,x1x2p,3.直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程 的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0).,p6.抛物线的方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.,规律方法(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点
3、，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.,要点二抛物线的焦点弦问题例2已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.解设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2).,直线方程为y13(x4)，即3xy110.,y1y22，y1y222.,规律方法(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的
4、应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,跟踪演练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值；解因为直线l的倾斜角为60，,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x25，,所以AB538.,(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,x1x2px1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，,要点三直线与抛物线的位置关系例3已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点
5、P(2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解由题意，设直线l的方程为y1k(x2).,可得ky24y4(2k1)0. ,(1)当k0时，由方程得y1.,(2)当k0时，方程的判别式为16(2k2k1).1由0，即2k2k10，,从而方程组(*)只有一个解.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.2由0，得2k2k10)，p4.,y28x或y28x,1,2,3,4,2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_.解析由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，,1,2,3,4,3.若抛物线y4x2上一点到直
6、线y4x5的距离最短，则该点坐标为_.解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.,1,2,3,4,设此直线与抛物线相切有0，即1616m0，m1.,1,2,3,4,4.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是_.解析设直线l的方程为3x2yc0，,故直线l的方程是6x4y30.,6x4y30,课堂小结,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.,3.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.,
