1、1.3.1函数的单调性,一、问题提出,思考1：分别作出 的图像，并且观察自变量变化时， 函数值有什么变化规律。,注意：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的， 是函数的局部性质。,思考2：能否根据自己的理解说说什么是增函数， 什么是减函数？,（1）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大， y也越来越大，我们就说函数在该区间上为增函数。,（2）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大， y越来越小，我们就说函数在该区间上为减函数。,例：下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？,二、新知探究,解析法,图像法,通俗语言：在区
2、间（0，+）上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间（0，+）上， 任取 ，得 当 时，有 。这时我们就说函数 在区间（0，+）上是增函数,列表法,定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是增函数。,一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是减函数。,*如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性， 区间D叫做y=f(x)的单调区间。
3、,判断题：（1）已知f(x)=1/x ，因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是 增函数。（2）若函数f(x)满足f (2)f(3),则函数f(x)在区间2，3 上为增函数。（3）若函数f(x)在区间(1，2和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。（4）因为函数f(x)=1/x在区间（-，0）和（0，+） 上都是减函数，所以f(x)=1/x在（-，0）（0，+） 上是减函数。,注意：单调性是对定义域内某个区间而言的， 离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间， 可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内 某个区间(如二次函数)，也可以根本不
4、单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减） 函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数,例1：证明f(x)=-2x+1在R上是减函数。,例2：证明 在0, +)上是增函数。,用定义证明函数单调性的步骤：,1.任取,2.作差,3.变形,4.定号,5.结论,三、知识迁移,例3：证明函数 在区间(- , 1 上是增函数。,例4:证明函数 在2，6上是减函数。,例5：证明函数 上是增函数。,例6：证明函数 在R上是增函数。,证明：任取,例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。,例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。,思考（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)
5、在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 为什么？,所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数,是,（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？,（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？,反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性,不能,是,四、小结,1.概念探究过程：从直观到抽象、从特殊到一般。2.用定义证明函数的单调性。3.数学思想方法和思维方法：数形结合,
