1、第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用,【题型示范】类型一 选(抽)取与分配问题【典例1】 (1)两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A.10种 B.15种 C.20种 D.30种,(2)(2013四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a,b，共可得到lg alg b的不同值的个数是( )A.9 B.10 C.18 D.20(3)甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有_种不同的推选方法.,
2、【解题探究】1.题(1)的五局三胜中，两人可以进行几局比赛？2.题(2)中每次从1，3，5，7，9中任取两个不同的数，则共有多少种不同的取法？3.题(3)中推选的2名三好学生的班级有几种情况？,【探究提示】1.五局三胜中，两人可以进行3局，4局，5局比赛.2.分两步选取共有54=20种不同的选取方法.3.有3种情况，分别是甲、乙班各1名，甲、丙班各1名，乙、丙班各1名.,【自主解答】(1)选C.由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局.当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3(种)情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，
3、所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有26=12 (种)，综上可知，共有2+6+12=20(种).故选C.,(2)选C.由于lg alg b=lg ,从1,3,5,7,9中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有54=20种,而得到相同值的是1,3与3,9以及3,1与9,3两组,所以可得到lg a-lg b的不同值的个数是18,故选C.(3)分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3515种选法；第二类，甲班
4、选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有326种选法；,第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5210种选法.综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15+6+1031种不同选法.答案：31,【方法技巧】选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.,【变式训练】(2013成
5、都高二检测)设集合I=1，2，3，4，5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )A.50种 B.49种 C.48种 D.47种【解题指南】以A中最大的数为标准，进行分类讨论，A中最大的数可能为1，2，3，4，共四种情况.,【解析】选B.按分类加法计数原理做如下讨论：当A中最大的数为1时，B可以是2，3，4，5的非空子集，即有24-1=15(种)方法.当A中最大的数为2时，A可以是2或1，2，B可以是3，4，5的非空子集，即有2(23-1)=14(种)方法.当A中最大的数为3时，A可以是3，1，3，2，3，1，2，3，B可以是4，5的非空子集，即
6、有4(22-1)=12(种)方法.,当A中最大的数为4时，A可以是4，1，4，2，4，3，4，1，2，4，1，3，4，2，3，4，1，2，3，4，B可以是5，即有81=8(种)方法.故共有15+14+12+8=49(种)方法.,【补偿训练】图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有_种不同的分法.【解析】分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从8本书中选一本，共有8种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的7本中任选1本，共有7种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的6本中任选1本，共有6种方法.所以不同分法有876336种.答案：336,类型二 组数问题【典例2】
7、(1)(2013青岛高二检测)如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120，363，374等)，那么所有凸数的个数为( )A.240 B.204 C.729 D.920,(2)用0，1，2，3，4五个数字，可以排出多少个三位数字的电话号码？可以排成多少个三位数？可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？,【解题探究】1.题(1)中的凸数有什么特点？如何进行“分类”或“分步”计数？2.题(2)中的三位数有什么特点？如何进行计数？【探究提示】1.题(1)中的凸数具有中间的一个数比两端两个数大的特点，可按中间数为2，3，4，9分8类计数.2.题(
8、2)中的三位数首位可以为0，且每个位上数字可以重复，需分步来计数.中的三位数首位不能为0，但可以有重复数字，按首位优先安排进行分步计数.中数为偶数，末位数字可取0，2，4，可分末位为0与不为0两类来计数.,【自主解答】(1)选A.可按十位数字进行分类.a2最小为2，最大为9，共分8类:a2=2时，a1=1，a3=0,1，共有2个；a2=3时，a1可取1，2，a3可取0，1，2，共有23=6(个)；a2=4时，a1可取1，2，3，a3可取0,1,2,3,共有34=12(个)；a2=9时，共有89=72个数，故所有凸数的个数为N=12+23+34+45+56+67+78+89=240(个).,(2
9、)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有555=53=125(种).三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455=100(种).,被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有43=12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有233=18(种)排法.因而有12+18=30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.,【延伸探究】由题(2)中的五个
10、数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？【解析】完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2332=36(个).,【方法技巧】组数问题的常见类型及解决原则(1)常见的组数问题组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；在某一定范围内的数的问题；各位数字和为某一定值问题；各位数字之间满足某种关系问题等.,(2)解决原则明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“
11、分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.,【变式训练】(2013山东高考)用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279【解题指南】本题可利用间接法来求解.【解析】选B. 三位数个数为91010=900.没有重复数字的三位数有998=648,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252.,【补偿训练】从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无
12、重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A.24 B.18 C.12 D.6【解析】选B.由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种.因此总共有12+6=18种情况.故选B.,类型三 染色与种植问题【典例3】(1)用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有_种不同的涂色方法.,(2)在一块并排10
13、垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共_种.,【解题探究】1.题(1)中涂色的顺序一般是什么？2.在题(2)中A，B两种作物的间隔不小于6垄，有几种情形？【探究提示】1.一般可按1,2,3,4的顺序进行.2.有3种情形，即间隔6,7,8垄三种.,【自主解答】(1)完成该件事可分步进行.涂区域1，有5种颜色可选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选；若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有54(14+33
14、)=260(种)涂色方法.答案：260,(2)将并排的10垄田地从左到右编号为1到10号.由于A，B两种作物的间隔不小于6垄，依据题意知也不大于8垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论.当A种在B左边时(括号内为田垄的序号)，间隔6垄时，(1,8)，(2,9)，(3,10)；间隔7垄时，(1,9)，(2,10)；间隔8垄时，(1,10).,上述共有6种选垄方法，当B种在A左边时，同理也有6种选垄方法，综上所述，总的选垄方法数为6+6=12(种).答案：12,【方法技巧】解决涂色(种植)问题的一般思路(1)按涂色(种植)的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数.(2)按颜色(种植
15、品种)恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数.(3)几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理.(4)如果正面情况较多，可用间接法计算.,【变式训练】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有_种.【解析】此题等价于如图所示的平面着色问题：,第一步：对O点着色，有5种着色方法.第二步：对A点着色，有4种着色方法.第三步：对B点着色，有2种情况：第一种情况，B，D同色，有3种方法，C点有3种方法，共有33=9种方法；第二种情况，B，D不同色，有32=6种方法，C点有2种方法，共有62=12种方法,则第三步共有9+12=21种方法.综上所
16、述，不同的染色方法共有5421=420种.答案：420,【补偿训练】(2013西安高二检测)湖北省(鄂)分别与湖南(湘)、安徽(皖)、陕西(陕)三省交界(示意图如图)，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有_种.,【解析】由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先涂陕西，有5种结果，再涂湖北省，有4种结果，然后涂安徽，有4种结果，再涂湖南有4种，即5444=320.答案：320,【规范解答】综合应用两个计数原理解决涂色问题【典例】(12分)用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的
17、彩色粉笔.则该板报有多少种书写方案？,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升失分点1：若不能准确把握已知信息，对处数学天地的涂色，易出现选取3种颜色的情况而致误.失分点2：若对两种计数原理不理解，在处不能用分步乘法计数原理求出所有的不同方案，则考试时至少会扣掉2分.,【悟题】提措施，导方向1.加强“分类”“分步”的意识在求解比较复杂的计数问题时，要注意分析问题是需要进行“分类”还是“分步”，如本例就是要对各个板块进行分步涂色.,2.掌握解决涂色问题的关注点和技巧特别要关注图形的特征.有多少块，用多少种颜色.如图形不是很规则，往往需要从某一块出发进行分步涂色，如本例；如图形具有一定的对称性，则往往先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步.,【类题试解】如图，要给地图A，B,C,D四个区域分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有多少种？,【解析】根据题意，由于要用3种颜色来给四块涂色，则可以先给A涂色有3种，再给B涂色有2种，由于A,D相同时，C,D的涂法都有1种，根据分步乘法计数原理可知共有32116种.,
