1、本 章 归 纳 整 合,知识网络,要点归纳一、两个基本思想1回归分析的基本思想回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量代换转化为线性回归分析，因此，回归分析的思想主要是指线性回归分析的思想注意理解以下几点：,(1)确定线性相关关系线性相关关系有两层含义：一是具有相关关系，如广告费用与销售量的关系等在一定条件下具有相关关系，而气球的体积与半径的关系是函数关系，而不是相关关系；二是具有线性相关关系判断是否线性相关的依据是观察样本点的散点图(2)引起预报误差的因素对于线性回归模型ybxae，引起预报变量y的误差的因素有两个：一个是解释变量x，另一个是随机误差e.
2、,(3)回归方程的预报精度判断回归方程的预报精度是通过计算残差平方和来进行的，残差平方和越小，方程的预报精度越高简单来说，线性回归分析就是通过建立回归直线方程对变量进行预报，用回归方程预报时，需对函数值明确理解，它表示当x取值时，真实值在函数值附近或平均值在函数值附近，不能认为就是真实值,(4)回归模型的拟合效果判断回归模型的拟合效果的过程也叫残差分析，残差分析的方法有两种，一是通过残差图直观判断，二是通过计算相关指数R2的大小判断,2独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想类似于反证法要确认两个分类变量有关系的可信程度，先假设两个分类变量没有关系，再计算随机变量K2的观测值，最后由K2的观测
3、值很大在一定程度上说明两个分类变量有关系进行独立性检验要注意理解以下三个问题：(1)独立性检验适用于两个分类变量(2)两个分类变量是否有关系的直观判断：一是根据22列联表计算|adbc|，值越大关系越强；二是观察等高条形图，两个深色条的高度相差越大关系越强；,(3)独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断独立性检验的结论只能是有多大的把握确认两个分类变量有关系，而不能是两个分类变量一定有关系或没有关系,二、两个重要参数1相关指数R2相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好2随机变量K2随机变量K2是用来判断两个
4、分类变量在多大程度上相关的变量独立性检验即计算K2的观测值，并与教材中所给表格中的数值进行比较，从而得到两个分类变量在多大程度上相关,三、两种重要图形1散点图散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；二是判断样本中是否存在异常2残差图残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高二是确认样本点在采集中是否有人为的错误,专题一回归直线方程1在散点图中样本点大致分布在一条直线附近，则利用线性回归模型进
5、行研究，可近似地利用回归直线方程来预报2求回归直线方程的基本步骤如下：(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，得到散点图(2)按照求回归方程的步骤和公式，写出回归方程,【例1】 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示：,(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？(2)求回归直线方程(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？解(1),从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关(2)列出
6、下表，并用科学计算器进行计算：,专题二线性回归分析作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄,【例2】 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：(1)画出散点图，并初步判断是否线性相关；(2)若线性相关，求回归直线方程；(3)求出相关指数；(4)作出残差图；(5)进行残差分析；,解(1)散点图，如图所示由图可知，x，y线性相关,(2)x与y的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设回归模型为x.将数据代入相应公式可得数据表：,(3)利用所求回归方程求出下列数据,(5
7、)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性，由R2的值可以看出回归效果很好由残差图也可观察到，第2、5、9、10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误,专题三独立性检验独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量K2的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系独立性检验的思想类似于反证法，在假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理,【例3】 某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复的口服制剂，为了试验新
8、药的效果，抽取若干名运动员来试验，所得资料如下：,区分该种药剂对男、女运动员产生的效果的强弱,命题趋势 从近几年的高考试题来看，高考对本章内容考查有加强趋势，主要是以考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择题、填空题，也有解答题出现,高考真题1(2011山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：,解析所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D.答案D,答案D,4(2011广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系
9、：小李这5天的平均投篮命中率为_；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为_,5(2012福建)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本),(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x1 00020(x8.25)2361.25.当且仅当x8.25时，L取得最大值故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润,6(2010新课标
10、全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：,(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由附：,P(K2k),7(2010辽宁)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表,表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；,(2)完成下面22列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”表3：,P(K2k),k,解(1)从频率分布直方图中可以看出注射药物A后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数,(2)表3：,
