1、23等比数列23.2等比数列的前n项和,数列,九章算术有一道“耗子穿墙”的问题：今有垣厚5尺，两鼠相对，大鼠日一尺，小鼠亦一尺大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何在实际上是一个等比数列求和的问题，他的解法也很简单，答案是两天不足，三天有余这节内容，我们就来探讨等比数列前n项和的求法，推导出公式后运用它去计算诸如此类的问题,前n项和公式的导出,注意问题,(1)上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会(2)公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论(3)当已知a1，q，n时，用公式Sn ，当已知a1，q
2、，an时，用公式 .(4)在解决等比数列问题时，如已知a1，an，n，q，Sn的任意三个，可由通项公式或前n项和公式求解其余两个,前n项和重点性质的证明,Sn的简单应用,在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q.,分析：利用等比数列的性质，将a2an1转变成a1an，从而易求得a1和an，然后再求n和q的值,名师点评：(1)解此类问题一般思路为列方程组解出相关量，但运用等比数列的性质就会使问题由繁化简，此题若按一般解法就会很烦琐，因此解题中注意灵活运用性质(2)当已知a1，q(q1)，n时，用公式Sn 求和方便，如果已知a1，q，an，用公式 较为方便,等比数列的
3、性质应用,在等比数列an中，Sm20，S2m60，求S3m.,分析：运用等比数列前n项和的有关性质进行求解解析：an为等比数列，Sm，S2mSm，S3mS2n，即20,6020，S3m60成等比数列，S3m6080，S3m140.,名师点评：等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，为等比数列，对此性质要熟悉，要注意灵活运用此题如不用此性质来解，而用求和公式来解过程十分烦琐,变式迁移,1已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列求证：2S3，S6，S12S6成等比数列,求等比数列前n项和,求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1
4、的前n项的和,分析：采用错位相减法进行求和解析：当a0时，Sn1.当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，则Sn n2. 当a1时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，,名师点评：(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用这一思路和方法(2)要善于识别题目类型，特别是等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意(3)在写出“Sn”与“qSn”的表达时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式,等比数列的综合应用,已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn14
5、an2，a11.(1)设bnan12an，求证数列bn是等比数列；(2)设cn ，求证数列cn是等差数列；(3)求数列an的通项公式及前n项和公式,分析：(1)利用Sn14an2及等比数列定义证明；(2)利用等比数列的定义证明；(3)借助(2)的结果及Sn14an2求解解析：(1)Sn14an2，Sn24an12.以上两式等号两边分别相减，得Sn2Sn14an14an，即an24an14an，变形得an22an12(aa12an)，bnan12an，bn12bn.由上可知，数列bn是公比为2的等比数列，且由S2a1a24a12，又a11，得a25，故b1a22a13，故bn32n1.,an2n
6、cn(3n1)2n2.当n2时，Sn4an12(3n4)2n12.由于S1a11也适合此公式故所求an的前n项和公式为Sn(3n4)2n12.,名师点评：本题第(3)问中求数列an的前n项和Sn时，应避免利用通项公式an(3n1)2n2逐项相加求和，即Sna1a2a3an(311)212(321)222(331)232(3n1)2n2，因为如若这样，将使计算过程陷入烦琐，同时，根据已知等式Sn14an2，即然已知an(3n1)2n2，也完全没有必要逐项相加求和,变式迁移,等比数列的实际应用,某地现有居民住房的总面积a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧
7、住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.1102.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位),名师点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率,变式迁移,3某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(lg 20.3),基础巩固,1等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项和是( )A179B211C243D275,B,2等比数列an中，a12，前3项和S326，则公比q为( )A3 B4 C3或4 D3或4,C,解析：S3a1a2a326，即22q2q226.,祝,您,学业有成,
