1、3.1数系的扩充,第 3章数系的扩充与复数的引入,1.了解引入复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.理解复数的分类.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一复数的引入在实数范围内，方程x210无解.为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x210的根，即使ii1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作abi(a，bR)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是abi(a，
2、bR)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是Cabi|a，bR，称i为 .,答案,虚数单位,思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x425.答案在有理数集中：x425(x25)(x25).在实数集中：x425(x25)(x25),答案,在复数集中：x425(x25)(x25),(2)虚数单位i有哪些性质？答案虚数单位i有如下几个性质：i的平方等于1，即i21；实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；i的乘方：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*).,答案,知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi的
3、数叫做复数，其中a，bR，i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 .(2)复数的表示方法：复数通常用字母 表示，即 .(3)复数集定义： 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.,答案,虚数单位,实部,虚部,z,zabi,全体复数,2.复数的分类及包含关系,(2)集合表示：,思考(1)两个复数一定能比较大小吗？答案不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.(2)复数abi的实部是a，虚部是b吗？答案不一定，对于复数zabi(a，bR)，实部才是a，虚部才是b.,答案,知识点三复数相等复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdi .即它们的实部与虚部分别对应相等.思考
4、(1)若复数zabi(a，bR)，且z0，则ab的值为多少？答案0.(2)若复数z13ai(aR)，z2bi(bR)，且z1z2，则ab的值为多少？答案4.,ac且bd,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一复数的概念例1写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.23i；解实部为2，虚部为3，是虚数；,解析答案,；解实部为，虚部为0，是实数；,0.解实部为0，虚部为0，是实数.,反思与感悟,反思与感悟复数abi(a，bR)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.,解析答案,跟踪训练1下列命题中
5、，假命题的序号为_.若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且ab，则aibi；若x2y20，则xy0.解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以是假命题.由于两个虚数不能比较大小，所以是假命题.当x1，yi时，x2y20成立，所以是假命题.,解析答案,题型二复数的分类例2设,(1)若z是虚数，求m的取值范围；,解因为z是虚数，故其虚部log2(5m)0，,解得1m5，且m4.,解析答案,(2)若z是纯虚数，求m的值.,解因为z是纯虚数，故其实部,虚部log2(5m)0，,反思与感悟将复数化成代数形式zabi(a，bR)，根据复数的分类：当
6、b0时，z为实数；当b0时，z为虚数；特别地，当b0，a0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2实数k为何值时，复数z(1i)k2(35i)k2(23i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.,解由z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60时，zR，即k6或k1.(2)当k25k60时，z是虚数，即k6且k1.,解析答案,题型三两个复数相等例3(1)已知x2y22xyi2i，求实数x，y的值.,解x2y22xyi2i，,(2)关于x的方程3x2 x1(10x2x2)i有实数根，求实数
7、a的值.,解设方程的实数根为xm，,反思与感悟,反思与感悟,两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.,解z0，zR，x24x30，解得x1或x3.,解析答案,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.若集合Ai，i2，i3，i4(i是虚数单位)，B1，1，则AB_.解析因为i21，i3i，i41，所以Ai，1，i,1，又B1，1，故AB1，1.,1，1,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_.,1,2,3,4,5,答案,3.在复数范围内，方程
8、x220的解是_.,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知M2，m22m(m2m2)i，N1,2,4i，若MNN，则实数m的值为_.,解析MNN，MN，m22m(m2m2)i1或m22m(m2m2)i4i.,解得m1或m2.故实数m的值是1或2.,1或2,解析答案,1,2,3,4,5,5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一实根为n，则m_.,解析关于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一实根为n，可得n2(2i)n1mi0.,所以mn1.,1,课堂小结,返回,1.复数的代数形式zabi(a，bR)是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.,
