1、3.2复数的四则运算,第 3章数系的扩充与复数的引入,1.掌握两个复数相加减的法则，会正确地进行复数的加减运算.2.掌握共轭复数的概念及其简单的性质.3.掌握两个复数相乘除的法则，能熟练地进行复数的四则运算及复数乘方的运算.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一复数代数形式的加减运算1.复数的加减法法则设z1abi，z2cdi，则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i，即两个复数相加(减)，只需要把它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).2.复数的加法的运算律依复数加法法则，容易验证：复数的加法满足交换律与结合
2、律.即对于任意的复数z1，z2，z3C，有(1)z1z2z2z1；(2)(z1z2)z3z1(z2z3).,思考(1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答案是复数，唯一确定.(2)若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?答案不能，例如可取z132i，z22i.,答案,知识点二复数的乘法1.复数的乘法法则(abi)(cdi)acadibcibdi2(acbd)(adbc)i.2.复数乘法的运算律对任意的z1，z2，z3C，有(1)z1z2z2z1；(2)(z1z2)z3z1(z2z3)；(3)z1(z2z3)z1z2z1z3.,3.复数的乘方设z1，z2C，m，nN*，则(1)
3、zmznzmn；(2)(zm)nzmn；(3)(z1z2)n .其中，应注意特别的重要结论：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30.思考写出下列各题的计算结果.(1)(ab)2_；(2)(3a2b)(3a2b)_；(3)(3a2b)(a3b)_.,答案,a22abb2,9a24b2,3a211ab6b2,思考判断.(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()(2)若z1，z2C，且 0，则z1z20.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.()(4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(),答案,知识点四复数的除法利用共轭复数的乘积为实数这一性
4、质，对分母实数化，即得复数除法法则：,其中cdi0.这一公式不必背记，只需理解其分母实数化的思想方法就可以了.,思考写出下列各题的计算结果.,i,i,i,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一复数加减法的运算例1计算：(1)(34i)(43i)；解原式(34)(43)i1i.(2)(56i)(12i)(34i).解原式(56i)(12i)(34i)(513)(624)i10i1.,反思与感悟,反思与感悟,当多个复数进行加减时，既可以直接按加减法的法则进行运算，也可以先化减为加，然后分别求其实部、虚部的代数和.,解析答案,跟踪训练1计算(12i)(23i)(34i)(45i)(2 01
5、12 012i)(2 0122 013i).解方法一原式(12342 0112 012)(23452 0122 013)i1 0061 006i.方法二(12i)(23i)1i，(34i)(45i)1i，(2 0112 012i)(2 0122 013i)1i.将上列1 006个式子累加可得原式1 006(1i)1 0061 006i.,解析答案,题型二复数乘除法的运算例2计算：(1)(2i)(2i)；解(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)2.解(12i)214i(2i)214i4i234i.反思与感悟(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运
6、算，例如平方差公式、完全平方公式等.(2)像34i和34i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为abi和abi，其数值特征为(abi)(abi)a2b2.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2计算：(1)(12i)(34i)(2i)；解(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)；解(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)2.解(1i)212ii22i.,解析答案,例3计算：(1)(12i)(34i)；,反思与感悟,反思与感悟,复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，
7、则只需同时乘以i).,解析答案,解析答案,题型三共轭复数及应用,所以2(abi)(abi)6i，即3abi6i.,故f(z)2(2i)(2i)3i64i.,反思与感悟,反思与感悟,解析答案,即(z1)(z13i)0，z1或z13i.,复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用，下面通过具体的实例加以说明.1.求复数的平方根复数zabi开平方，只要令其平方根为xyi，利用平方根的定义，以及复数相等的充要条件，即可求出未知量，从而得到复数z的平方根.,知识拓展,复数运算的应用,解析答案,例5求86i的平方根.解设86i的平方根为xyi(x，yR)，则(xyi)286i，即(x2y2)2xyi
8、86i，,则86i的平方根为3i或3i.,2.分解因式由于a2b2(abi)(abi)，则很多在实数集内不能分解的因式在复数集内可分解因式.例6分解因式：(1)x22xyy2z2；解x22xyy2z2(xy)2z2(xyzi)(xyzi)；(2)x481.解x481(x29)(x29)(x3i)(x3i)(x3)(x3).,解析答案,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.若复数z满足zi33i，则z_.解析据题意，得z3i(i3)62i.,62i,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.,解析z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，,1,1,2,3,4,5,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,虚部为1.,1,解析答案,1,2,3,4,5,110ii92i.,课堂小结,返回,1.做复数的除法，通常先将除法转化为复数的分式形式，然后将分式的分母实数化.2.复数zabi与其共轭复数有如下常用的性质：,
