1、1.3.3最大值与最小值,第 1章1.3导数在研究函数中的应用,1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一函数最值的概念如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的xI，总有 ，那么称f(x0)为函数的定义域上的最大值.如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的xI，总有 ，那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值.,答案,f(x)f(x0),f(x)f(x0),思考函数的极值与最值的区别是什么？答案函数的最大值和最
2、小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间.,答案,知识点二求函数的最值1.求f
3、(x)在区间a，b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(1)中求得的 与 比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.2.函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.,答案,极值,f(a)，f(b),思考(1)函数f(x) 在(1,2)上有最值吗？答案没有.(2)函数f(x)ln x在1,2上有最值吗？答案有最大值ln 2，最小值0.,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一求函数的最值例1求下列
4、各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；,解f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.,解析答案,(2)f(x)x33x26x2，x1,1.解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数.故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.反思与感悟一般地，在闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)上的
5、连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值；,解f(x)为奇函数，f(x)f(x).即ax3bxcax3bxc，c0.f(x)3ax2b的最小值为12，a0，b12.又直线x6y70的斜率为 ，因此f(1)3ab6，故a2，b12，c0.,解析答案,(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值.,当x3时，f(x)取得最大值为18.,解析答案,题型二含参数的函数的最值问题例2已知a
6、是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值.,反思与感悟,解f(x)3x22ax.,f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.,f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.,反思与感悟,反思与感悟,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.,解析答案,跟踪训练2a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值.,解f(x)3x23a3(x2a).若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，当x0时，有最大值f(0)0.,解析答案,则当
7、0x1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0；,当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.,解析答案,题型三函数最值问题的综合应用例3已知函数f(x)x3ax2bxc在x 与x1处都取得极值.(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；,解对f(x)x3ax2bxc求导，得f(x)3x22axb.,f(x)3x2x2(3x2)(x1).,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解析答案,(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.,而f(2)2c，则f(2)2c为最大值.,
8、要使f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)2c，解得c1或c2.c的取值范围是(，1)(2，).,反思与感悟,反思与感悟,由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有很多，其中最常用的方法就是分离参数，将其转化为函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数来求解.,解析答案,跟踪训练3设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围；,解f(x)6x218x126(x1)(x2).当x(0,1)时，f(x)0；当x(2,3)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,
9、3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9.c的取值范围为(，1)(9，).,当x(1,2)时，f(x)0；,解析答案,(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，).,例4求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值.,易错易混,求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误,解析答案,返回,防范措施,错解由已知得f(x)3x24x，,当x(1,0)时，f(x)0，f(x)单调递增，,函数f(x)在x0处取得最大值f
10、(0)1，,错因分析求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误.,解析答案,防范措施,正解由已知得f(x)3x24x.,当x(1,0)时，f(x)0，f(x)单调递增，,函数f(x)在x0处取得极大值f(0)1，,又f(1)2，f(2)1，函数f(x)的最大值是1，最小值是2.,防范措施,若连续函数yf(x)在a，b上为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在a，b上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.函数yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m
11、，若Mm，则f(x)_0.(填“”或“”或“”),解析据题f(x)为常数函数，故f(x)0.,解析答案,1,2,3,4,5,2.函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是_.解析f(x)3x23.令f(x)0，即3x230，解得x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极大值，f(x)极大值3，在x1处取得极小值，f(x)极小值1.而端点处的函数值f(3)17，f(0)1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为17.,3，17,1,2,3,4,5,3.函数f(x)x33x(|x|1)_(填“有”或“无”
12、)最大值.解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值.,解析答案,无,解析答案,1,2,3,4,5,解析f(x)ex(sin xcos x).,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知f(x)2x36x2a(a为常数)在2,2上有最小值3，那么f(x)在2,2上的最大值是_.解析令f(x)6x212x0，解得x0或x2.当x(2,0)时，f(x)0；当x(0,2)时，f(x)0，x2，0,2对应的f(x)的值分别为a40，a，a8.因为a40a8a，所以a40为最小值，a为最大值，则a403，a43，故f(x)在2,2上的最大值是43.,43,课堂小结,返回,1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：对函数进行准确求导；研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：f(x)m恒成立，只需f(x)minm成立即可，也可转化为h(x)f(x)m，这样就是求h(x)min0的问题.若对某区间D上恒有f(x)g(x)成立，可转化为h(x)f(x)g(x)，求h(x)min0的问题.,
