1、计算下列各式,课前小测,复习思考: 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘法 两个向量的数量积,运算结果,向量,向量,向量,向量数量积的物理背景与定义,学习目标,1、掌握平面向量数量积的物理背景；,3、掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义。,2、理解一个向量在另一个向量方向上的正投影的概念；,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,新课引入:,功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？,力F所做的功W应当怎样计算？,以计算力做功为背景，我们引入向量的
2、数量积的概念。,力做功的计算，涉及到两个概念：,两个向量的夹角,向量在轴上的射影,1、向量的夹角的概念,两个非零向量 和 ，作 ，,与 反向,与 同向,则 叫做向量 和 的夹角,记作,与 垂直，,注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,特殊情况：,怎样找向量的夹角?,说明（1）,（2）在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。,物理上力所做的功实际上是将力正 交分解，只有在位移方向上的力做功,什么是向量的正射影？什么是向量的正射影的数量呢？,阅读课本108页,看图回答问题。,向量a在l上的正射影是什么？向量a在l上的正射影的数量是什么?坐标呢？怎样表示？,向量a在向量b上的数量怎样
3、表示,解： （1）,（2）,练一练,3、向量的数量积的定义,说明,判断下列命题是否正确,(),(),(),(),做一做,1.若a=0,则对任意向量b，有a b=0.2.若a0,则对任意非零向量b，有a b0.3.若a0,且a b=0,则b=0.4.若ab=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=a2.6.若a0,且a b=a c,则b=c.,(),小组讨论,结论,当 时，它为正值；,为锐角时，| b | cos 0,为直角时，| b | cos =0,为钝角时，| b | cos 0,当90 180时，它为负值,当 =90时，它为0；,当夹角为 和180 ，结果是什么呢？,平面向量数
4、量积 a b的几何意义,向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与b 在a 的方向上的正射影的数量| b | cos的积.,还有其它说法吗？过A点作OB的垂线，其几何意义怎样表述呢？,想一想：,由向量数量积的定义，试完成下面问题：,0,(4),练一练：,3、向量数量积的性质,例题讲解,例1已知|a |=5，|b |=4， ，求a b.,解:,例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2,看谁做的快,答案：-28,例3,看谁做的快：练习A,2,求向量夹角的方法,求向量模的方法,例4,看
5、谁做的快,我们学到了什么？,课堂小结,向量的夹角,向量在轴上的正射影,向量的数量积的定义，几何意义，性质。,共起点,向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与b 在a 的方向上的正射影的数量| b | cos的积.,数量积的性质,（1）e a=a e=| a | cos,（2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据),（3）当a 与b 同向时，a b =| a | | b |， 当a 与b 反向时, a b = | a | | b |. 特别地 (用于计算向量的模),（4）,（5）| a b| | a | | b |,设a ,b都是非零向量, e是与b方向相同的单位向量, 是a与e的夹角,则,(用于计算向量的夹角),
