1、1.5二 项 式 定 理,1、二项式定理：,2、通项公式：,3、特例：,(展开式的第r +1项),温故知新,(2)增减性与最大值：,从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.,因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等且同时取得最大值,(3)各二项式系数的和,(1)对称性：,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.,二项式系数的性质,在 展开式中,(1)求二项式系数的和;,例1.,(2)各项系数的和;,(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;,(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和;,1024,1,512,学生活动,
2、1、已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值,(2)求a0+ a2+ a4+ + a10的值,1,结论:,3.( 1x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ）(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项,C,学生活动,一、知识复习：,二项式定理：,主要研究了以下几个问题：展开式及其应用；,通项公式及其应用；,二项式系数及其有关性质.,二、基础训练：,3、在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同的项是( ).,4、在(ab)10展开式中，系数最大的项是( ).,A 第6项 B 第7项 C 第6
3、项和第7项 D 第5项和第7项,A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项,C,A,5、写出在（a-b)7的展开式中， 系数最大的项？系数最小的项？,系数最大,系数最小,三、例题讲解：,例1 在 的展开式中， 的系数是多少？求 展开式中含 的项.,解：原式=,可知 的系数是 的第六项系数与 的第三项系数之和.,即：,原式=,其中含 的项为：,例2 已知 的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。,解：依题意， 为偶数，且,变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？,(答案略),例3 计算 (精确到0.001),解：,例4 写出在（a+2)10的展开式中， 系数最大的项？,解：设
4、系数最大的项是第 r + 1 项，则,则系数最大的项是第8项,例5 求证： (nN，且n2),证明：,又n2，上式至少有三项，且,0, (nN，且n2),例6 已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。,解：,令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4故T5 为常数项，且系数最大。,四、课堂练习：,2、已知 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992求展开式中二项式系数最大的项.,3、（1+2x）n展开式中的二项式系数的和为2048，求
5、展开式中系数最大项,1、已知(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+a100x100，求下列各式的值： (1)(a0+a2+a100)2(a1+a3+a99)2 ； (2)a0+a2+a100 .,五、课堂小结：,本节课讨论了二项式定理的应用，包括组合数的计算及恒等式证明、近似计算与证明不等式、整除、二项式系数与系数最大问题等当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理，认真分析题目结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法,解：（1） 中间项有两项：,（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：,例三、已知二
6、项式 ( a + b )15 （1）求二项展开式中的中间项；（2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。,例四、已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。,解：,令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4故T5 为常数项，且系数最大。,研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法或步骤。,解：设最大项为 ，则：,即,即,则展开式中最大项为,六、作业布置：,小结：,（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法,（1）二项式系数的三个性质,对称性,增减性与最大值,各二项式系数和,例1、求值：,（1） 能被1000整除,例2、求证：,（2） 能被7整除,（3） 能被 整除,例3、计算： （精确到0.001),例4、已知：,求：,例5、求,例6、求证：,的展开式中 项的系数,
