1、第二讲直线与圆的位置关系,一圆周角定理,1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.,1,2,3,1.圆周角定理,1,2,3,名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.,1,2,3,【做一做1】 如图,在O中,BAC=25,则BOC等于()A.25B.50C.30 D.12.5解析:根据圆周角定理,得BOC=2BAC=50.答案:B,1,2,3,2.圆心角定理,1,2,3,答案:30,1,2,3,3.圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
2、(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.,1,2,3,名师点拨1.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的弧”.2.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.3.由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同圆或等圆中同是优弧或同是劣弧,一般选劣弧.4.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦相等.,1,2,3,【做一做3-1】 如图,在O中,BAC=60,则BDC等于()A.30B.45C.60D.75解析:BDC=BAC=60.答案:C,1,2,3,
3、答案:A,圆周角定理的理解剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多
4、定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到这种分情况证明的定理.,(3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时AOB=2C很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.,题型一,题型二,题型三,【例1】 如图,ABC的三个顶点都在O上,BAC的平分线与BC边和O分别交于点D,E.(1)指出图中相
5、似的三角形,并说明理由;(2)若EC=4,DE=2,求AD的长.分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先由三角形相似得线段成比例,再求其长度.,题型一,题型二,题型三,解:(1)AE平分BAC,BAD=EAC.又B=E,ABDAEC.B=E,BAE=BCE,ABDCED,AECCED.(2)CEDAEC, CE2=EDAE,16=2AE,AE=8.AD=AE-DE=6.反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.,题型一,题型二,题型三,证明:BC是O
6、的直径,BAC为直角.又ADBC,RtBDARtBAC.BAD=ACB.BAD=FBA.ABE为等腰三角形.AE=BE.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相等也可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的常见策略.2.若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 如图,ABC内接于O,D,E在BC边上,且BD=CE,1=2.求证:AB=AC.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题
7、型三,易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错,【例3】 如图,若BAD=75,则BCD=.错解:BAD和BCD所对的弦都是BD,BAD=BCD.BCD=75.错因分析:错解中,没有注意到圆周角BAD和BCD所对的弧不相等,导致得到错误的结论BAD=BCD.,题型一,题型二,题型三,答案:105,反思同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.当弦是直径时,同弦或等弦所对的圆周角相等,都等于90;当弦不是直径时,该弦将圆周分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,它们互补(如本题).,
