1、临清市第二中学 董树彦,排列组合综合应用 第一课时,排列组合综合应用（一）,例1 某年全国足球甲级（A组）联赛共14队参加，每队都要与 其余各队在主、客场比赛1次，共进行多少场比赛？,解：任何2队间进行1次主、客场比赛，对应于从14个 元素中任取2个元素的一个排列,答：一共进行182场比赛。,思考：2个足球队之间进行比赛，要进行几场比赛？ 2个足球队之间在主、客场分别比赛，要进 行几场比赛？,例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？,（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？,解（1）从5本不同的书中选3本送
2、给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列,（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：,说明：两个小题的区别，（1）是典型的排列问题 （2）不是排列问题，用分步计数原理解决,例3 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆 上表示信号，每次可以任挂1面，2面或3面，并且不同 的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？,解：分为3类： 第1类：挂1面 第2类：挂2面 第3类：挂3面,练习：由1，2，3这3个数字可以组成多少个没有重复 数字的正整数？,注：解排列应用题，注意分类与分步原理的应用,（一）无条件限制的排列问题,解题的关键：1
3、 确定该题是否是排列问题（将实际 问题“转化”为排列问题） 2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理,实际问题,转化,排列问题,求排列数,（建模）,求数学模型的解,得实际问题的解,练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？,（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？,（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？,不是排列问题，用分步计数原理，有 444=64 种,(4)由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数， 若所有的四位数的各数位上的数字之和为288，求x.,解：由题意得,即24
4、（10+x)=288 x=2,例4 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字 的三位数？,分析：有一个限制条件：百位上不能排0,解 法1从特殊位置出发，分2步： 第1步：先排百位 第2步：再排其它两位,由分步计数原理,法2 从特殊元素出发，分3类,第1类：每一位数字都不是0 第2类：个位数字是0第3类：十位数字是0, 由分类计数原理,法3 （间接法）从10个数字中任取3个数字的排列数 其中0在百位上的排列数,所求的三位数的个数为,(二）有限制的排列问题,限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素,常用方法：(1)直接法,（2）间接法（排除法）,a优限法：先特殊后一般,b捆绑法：元素相
5、邻,c插空法：元素不相邻,（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法” ）,（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从中减去不符合条件的排列数）,例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少 种不同的排法？,（1）甲必须站在中间（2）甲、乙必须站在两端（3）甲不在中间,解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个 位置排6个人,由分步计数原理,（4）甲既不在排头，也不在排尾,解（法1）优先考虑特殊元素,分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 第2步：再排其他人, 由分步计数原理,（法2）优先考虑特殊位置,分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人 站头、尾,第2步：其余位
6、置, 由分步计数原理,（法3）（排除法）7个人任意排,甲在头或尾,（5）甲、乙必须相邻,解：由于甲、乙必须相邻，可分2步： 第1步：视甲、乙为一个元素与其他5人排，,第2步：甲、乙在一起排 ，, 由分步计数原理,说明：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些 元素看作一个元素，与其它元素排列后， 再考虑相邻元素的内部排序，称为“捆绑法”,（6）甲、乙两人必须不相邻,解：（法1）甲、乙不相邻，先排其余5人，有 种，,5人排列共有6个空，从中选2个空排甲、乙，有 种， 共有,（法2）总的排法减去相邻的排法，,说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将 这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法”,（7）甲
7、、乙、丙三人的顺序一定,解：,另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序， 无位置，相当于7个位置排4个元素 ,练习：甲、乙顺序一定,说明：n个不同元素中m个元素顺序一定的排列 问题的排法,练习：,（1 ）5个人站成一排，其中甲不站在排头， 乙不站在排尾，有多少种排法？,分析：甲站排头有 种排法， 乙站排尾有 种排法 但两种情况中都包含了“甲站排头， 乙站排尾”，有 种排法,（2）（2000全国高考）乒乓球队10名队员中有3名主力 队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排 在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在 第二、四位置，那么不同的出场安排有 种,252,(4) 5名男生和3名女生站成一排，任何两个女生不相邻， 不同排法的种数为（ ）,D,D,
