1、2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率,1.条件概率,A,B,A,B,2.条件概率的性质(1)有界性:0P(B|A)1.(2)可加性:如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=_.,P(B|A)+P(C|A),1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.()(2)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. ()(3)P(B|A)P(AB).(),【解析】(1)错误.因为A与B互斥,即A,B不同时发生.所以P(AB)=0,则P(B|A)=0.(2)正确.如图,事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生.(3)正确.P(B|A)P(
2、AB),因为事件B|A中的基本事件空间为A,相对于原来的总空间而言,已经缩小了,而事件AB所包含的基本事件空间不变.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知P(B|A)= ,P(A)= ,则P(AB)等于.(2)把一枚硬币任意掷两次,事件A=第一次出现正面,事件B=第二次出现反面,则P(B|A)=.(3)甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)=,P(B|A)=.,【解析】(1)P(AB)=P(B|A
3、)P(A)=答案：(2)P(A)= ，P(AB)= ，若P(B|A)= .答案：(3)由条件概率的概念可知，答案：,【要点探究】知识点 条件概率1.对条件概率的三点说明(1)对“条件”的理解每一个随机试验,都是在一定条件下进行的,条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道,即在原随机试验的条件上又加上一定的条件.,(2)对公式的理解如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率,那么P(B)P(B|A);已知A发生,在此条件下B发生,相当于AB发生,要求P(B|A),相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率,即P(B|A)=,(3)两个区别P(B|A)与P(A|B)意义不同,由条件概率的定义
4、可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率;而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.P(B|A)与P(B):在事件A发生的前提下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.,2.对条件概率性质的两点说明(1)前提条件:P(A)0.(2)P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A),必须B与C互斥,并且都是在同一个条件A下.,【微思考】事件A发生的条件下,事件B发生的概率可记作P(A|B),这种记法正确吗?为什么?提示:不正确.P(A|B)表示事件B发生的条件下,事件A发生的概率,应该记为P(B|A).,【即时练】下列式子成立的是(
5、)A.P(A|B)=P(B|A)B.0P(B|A)1C.P(AB)=P(B|A)P(A)D.P(AB|A)=P(B)【解析】选C.由P(B|A)= 得P(AB)=P(B|A)P(A).,【题型示范】类型一 条件概率的计算【典例1】(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(),(2)抛掷红、蓝两颗骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”,求:事件A发生的条件下,事件B发生的概率.事件B发生的条件下,事件A发生的概率.,【解题探究】1.题(1)中事件A中的元素有什么特
6、点?2.题(2)中要求P(A|B)或P(B|A)需要求什么?【探究提示】1.事件A中的两个数有两种可能:两个都是奇数;两个都是偶数.2.先求P(AB),P(A)或P(B),再由条件概率的计算公式求P(B|A)或P(A|B).,【自主解答】(1)选B.因为P(A)=P(AB)=所以P(B|A)=(2)方法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为66=36,事件A的基本事件数为62=12，所以P(A)= .由于3+6=6+3=4+5=5+48,4+6=6+4=5+58,5+6=6+58,6+68,所以事件B的基本事件数为4+3+2+1=10，所以P(B)=在事件A发生的条件下，事件B发生，即事件AB的基
7、本事件数为6.,故P(AB)= .由条件概率公式，得,方法二：n(A)=62=12.由3+6=6+3=4+5=5+48,4+6=6+4=5+58,5+6=6+58,6+68知，n(B)=10,其中n(AB)=6.所以P(B|A)=,【延伸探究】若将题(2)中事件A中的“4或6”改为“5”，求解.【解题指南】解答本题先计算P(B)，P(AB)，再由定义 计算.,【解析】抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为66=36,由于3+6=6+3=4+5=5+48,4+6=6+4=5+58,5+6=6+58,6+68,所以，事件B的基本事件数为4+3+2+1=10，故P(B)=“蓝色骰子点数为5，且红、蓝两色骰子
8、点数之和大于8”这一事件即为事件AB，其基本事件数为3(红色骰子点数分别为4，5，6)，故P(AB)=因此P(A|B)=,【方法技巧】计算条件概率的两种方法,提醒：(1)对定义法,要注意P(AB)的求法.(2)对第二种方法，要注意n(AB)与n(A)的求法.,【变式训练】设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是多少?【解题指南】应用公式P(B|A)= 计算.,【解析】设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)=0.8，P(B)=0.4，而所求概率为P(B|A)，由于BA,故AB=B，于是P(B|A
9、)=所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.,【补偿训练】任意向(0,1)区间内投掷一个点，用x表示该点的坐标，则=x|0x1，事件A=x|0x0.5，B=x|0.25x1,则P(B|A)=_.【解析】答案：,类型二 条件概率的性质及应用【典例2】(1)一个袋中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为( ),(2)在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过;若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题,并且已知道他在这次考试中已经通
10、过,求他获得优秀成绩的概率.,【解题探究】1.题(1)中在第一次摸到红球的条件下,第二个球是黄球或黑球,这其中涉及了几个事件?分别是什么?它们具有什么关系?2.题(2)中此考生在这次考试中已经通过,则他可能答对几道?若获得优秀呢?,【探究提示】1.涉及了两个事件,一个是,在第一次摸到红球的条件下,第二个球是黄球;另一个是,在第一次摸到红球的条件下,第二个球是黑球,它们是互斥的.2.此考生考试已经通过,说明他至少答对了4道题,即可能是4道,可能是5道,也可能是6道.但若是获得优秀,则他可能答对5道,也可能答对6道.,【自主解答】(1)选C.设事件A为“摸出第一个球为红球”，事件B为“摸出第二个球
11、为黄球”，事件C为“摸出第二个球为黑球”.方法一：所以,所以P(BC|A)=即所求概率为 .,方法二：n(A)=1 =9，n(BC|A)= =5，所以P(BC|A)=,(2)设“该考生6道题全答对”为事件A，“该考生恰好答对了5道题”为事件B，“该考生恰好答对了4道题”为事件C，“该考生在这次考试中通过”为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E，则D=ABC，E=AB，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)= P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C),又AD=A，BD=B，所以P(E|D)=P(AB|D)=P(A|D)+P(B|D),【方法技巧】利用条件概率性质的解题策
12、略(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A). (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.,【变式训练】(2014榆林高二检测)有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取出两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率是.,【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D=BC，且B
13、与C互斥，又,故P(D|A)=P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)答案：,【补偿训练】有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率,【解析】设A=从第一个盒子中取得标有字母A的球，B=从第一个盒子中取得标有字母B的球，R=第二次取出的球是红球，则容易求得事件“试验成功
14、”表示为RARB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RARB)=P(RA)P(RB)=P(R|A)P(A)P(R|B)P(B),【易错误区】对事件不理解导致失误【典例】有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_.,【解析】设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8，又P (A)=0.9，P(B|A)= ，得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.80.9=0.72.答案：0.72,【常见误区】,【防范措施】对事件的正确理解解决此类问题的关键是细心审题，首先明确是否为条件概率问题，然后正确设出“事件A”“事件AB”“事件B|A”，在此基础上，选择恰当的概率公式.如本例中若将“事件B|A”和“事件AB”混淆，则易造成解题失误.,【类题试解】一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率为_.【解析】令事件A为“一次摸出的5个球颜色相同”,事件B为“一次摸出的5个球全是白色球”,则故P(B|A)=答案：,
