1、1利用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立，推导nk1成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行,比较法,分析法,综合法,放缩法,2归纳猜想证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用 证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法,数学归纳法,证明(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左2226，右224，所以左边右边；当
2、n3时，左23210，右329，所以左边右边因此当n1,2,3时，不等式成立,(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立 当nk1时， 2k12 22k2 2(2k2)22k22 k22k1k22k3 (k22k1)(k1)(k3)(因k3，则k30， k10)k22k1(k1)2. 所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立 根据(1)(2)，原不等式对于任何nN都成立,利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明,例2设f(n)0(nN)，对任意自然数n1和n2总有
3、f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4. (1)求f(1)，f(3)的值 (2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想 思路点拨利用f(n1n2)f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明,解(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想f(n)2n.证明：当n1时f(1)2成立；假设nk时，f(k)2k成立f(k1)f(k)f(1)2k22k
4、1，这就是说当nk1时，猜想也成立由知猜想正确，即f(n)2n.,利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明,4在数列an、bn中，a12，b14，且an、bn、an1成等差数列，bn、an1、bn1成等比数列(nN)(1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值，由此猜测an、bn的通项公式；(2)证明你的结论解：(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.,(2)用数学归纳法证明：当n1时，由上知结论成立假设当nk时，结论成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1 (k2)2.所以当nk1时， 结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立,
