1、1.2.2 组合（一）,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,有顺序,无顺序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,概念讲解,组合定义:,组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义: 一般地，从n个不同元素中
2、取出m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
3、多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.,（2)列出所有冠亚军的可能情况.,（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,练习
4、2,练习3,已知平面内A,B,C,D这四个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.,解：,1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(3个),(6个),概念理解,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a 、b 、
5、c 、 d ,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：,概念讲解,组合数:,注意： 是一个数，应该把它与“组合”区别开来,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,abc ， abd ， acd ， bcd .,练一练,组合,排列,abc bac cabacb bca cba,abd bad dabadb bda dba,acd cad dacadc cda dca,bcd cbd dbcbdc cdb dcb,不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？,你发现了什么?,前面已经提到，组合与排列有相互关系，我们能否利用这种关系，通过排列数 来求组合数 呢？,探究,如从a,b,c
6、,d 四个元素中任取三个元素的所有组合数 ，如何通过排列数 来计算呢？,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,根据分步计数原理，得到：,因此：,一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ,第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ,这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数,概念讲解,思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同？ 这一结果的组合的意义是什么？,从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一
7、个组合，与剩下的3个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取7个元素的组合，与从这10个元素中取出3个元素的组合是相等的.,又如:在5个元素a、b、c、d、e中,取3个元素的组合：,取2个元素的组合：,abc,abe,ace,abd,bce,cde,ade,bcd,bde,acd,de,ce,cd,be,bd,ae,ad,ab,ac,bc,从5个不同元素中每次取出3个元素的一个组合，总与剩下的二个元素的组合之间构成一一对应。因此从5个不同元素中每次取出3个元素的组合数，与从中取出剩余2个元素的组合数是相等的.,练习3,4,5,一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n m个元素因为从
8、n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数. 即,另一证明：根据组合数公式有,(1) 当m 时, 计算 可改为计算,注：,(2) 规定,组合数性质一：,快速反应:练习3.计算,从(1)中可以发现一个结论：,对上面的发现(等式)一般性结论应怎样？证明你的猜想?,证明:从n+1个元素中取出m个元素的组合，可以看成从n+1个元素中分两类抽取，其中一类是含元素 时抽取m-1个即 ，另一类是不含元素 时抽取m个即 ，由分类计数原理有： .,注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用,组合数性质二：,例计算：,组合数性质2：,排列,课堂小结,作业布置,P27 习题1.2 A组 D2，D9，D10,D11,再见,
