1、电动力学讲义Prof. Lei ZhouSeptember 26, 2013ii目 录1 麦克斯韦方程组 11.1 静电现象的基本理论描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 库仑定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2、31.1.4 电场的散度性质- 高斯定理 . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5 静电场的旋度安培环路定理 . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 电偶极子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 静磁现象的基本理论描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 电流（磁的来源、与电荷对比） . . . . . . . . . . . . 111.2.2 安培定律（与库仑定律对比） . . . . . .
3、 . . . . . . . . 141.2.3 磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4B( r ) 的散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.5B( r ) 的旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.6 磁偶极子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 电磁感应定律 . . . .
4、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 麦克斯韦方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 第一条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 第二条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27iiiiv 目 录1.4.3 第三条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5、 . . . 271.4.4 第四条方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 介质中的麦克斯韦方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.1 介质的极化及磁化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2 极（磁）化电荷（流） . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.3 介质中的Maxwell 方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6、.5.4 本构关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6 麦克斯韦方程组的边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 电磁场的守恒定律和对称性 472.1 真空中电磁场的能量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 电磁场的动量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3 介质中的电磁能量和动量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . .
7、 . 612.3.1 电磁能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.2 电磁动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 静电学I 导体静电学 693.1 静电问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.1 静电基本方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.2 静电条件下导体的边界条件 . . .
8、 . . . . . . . . . . . . 713.2 格林互易定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3 导体系的能量、固有能和相互作用能 . . . . . . . . . . . . . . 763.3.1 利用静电标势来表示静电能量 . . . . . . . . . . . . . . 763.3.2 电容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.3 固有能和相互作用能 . . . . . . . . . . .
9、. . . . . . . . 843.4 静电体系的稳定性问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4.1 汤姆孙定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.2 恩肖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89目 录 v3.5 导体表面所受的静电力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5.1 方法1 ：Maxwell 张量 . . . .
10、. . . . . . . . . . . . . . . 923.5.2 方法2 ：直接计算电荷受力 . . . . . . . . . . . . . . . . 934 静电学II - 电介质静电学 974.1 电介质边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2 唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 镜像法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11、. . . . . 1034.4 本征函数展开法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.1 轴对称的球坐标系问题（与变量 无关） . . . . . . . . 1134.4.2 与z 无关的柱对称问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5 多极矩法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.6 多极矩同外场的相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . .
12、 . . . 1324.6.1 电偶极矩在外场中受的力 . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.6.2 电偶极矩在外场中受的力矩 . . . . . . . . . . . . . . . 1355 静磁场 1375.1 磁场的矢势方程和边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2 静磁场的唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3 磁场的矢势解法：二维问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13、1425.4 磁场的标量势解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4.1 磁标势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.2 线性磁介质中磁场问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.3 铁磁介质问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.5 磁多极矩展开磁偶极子 . . . . . . . . . . . . . . . . .
14、 . . . 1605.5.1 磁多极展开及磁偶极子产生的势 . . . . . . . . . . . . 1615.5.2 磁偶极子在外磁场中的能量、受力及力矩 . . . . . . . 165vi 目 录6 似稳场（准静场） 1716.1 似稳条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.2 似稳场方程场的扩散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.3 导体表面层内的场分布 趋肤效应 . . . . . . . . . . . . . . .
15、 1807 电磁波的传播 1857.1 电磁波在非导电介质中的传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2 波的偏振和偏振矢量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.2.1 线偏振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.2.2 椭圆偏振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.2.3 圆偏振 . . . . . . . . . . . .
16、 . . . . . . . . . . . . . . . 1957.3 金属的等效介电常数Drude 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.3.1 色散介质的本构关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.3.2 金属的有效电导率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.3.3 金属有效介电函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.4 电磁波在导电介质中的传播 . . . . . . . . . .
17、 . . . . . . . . . 2047.4.1 良导体在GHz 及以下频段 . . . . . . . . . . . . . . . . 2067.4.2 良导体在光波段（等离子体中的光波） . . . . . . . . . 2097.4.3 非良导体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.5 旋光介质中的电磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.5.1 旋光介质的本构关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18、 . 2137.5.2 旋光介质中的电磁波本征态 . . . . . . . . . . . . . . . 2157.5.3 法拉第效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.6 电磁波在介质面上的反射和折射 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.6.1 电磁波边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.6.2 反射、折射的基本规律Snells Law （斯涅尔定律） . 2197.6.3 振幅关系Fresnels Law
19、 （菲涅耳定律） . . . . . . . . 2227.6.4 反射率及透射率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225目 录 vii7.6.5 正入射条件下反射的几点讨论 . . . . . . . . . . . . . . 2277.6.6 Brewster 角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.7 全反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.7.1 全反射临界角
20、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.7.2 折射波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.7.3 折射波能流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318 波导和谐振腔 2338.1 波导管中的场方程和边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.1.1 边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21、. . . . . 2348.1.2 场方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.2 矩形波导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.2.1 TE 波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.2.2 TM 波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.3 谐振腔 . .
22、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439 电磁波的辐射 2499.1 势、规范、及其满足的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.1.1 势的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.1.2 规范条件（Gauge ） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.1.3 势所满足的方程 . . . . . . . . . . . . . . . .
23、 . . . . . . 2519.2 推迟势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.3 多极辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2559.3.1 推迟势的多极展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.3.2 电偶极辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579.3.3 磁偶极辐射 . . . .
24、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.4 线型天线辐射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629.5 天线阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265viii 目 录10 相对论电动力学 26910.1 狭义相对论的时空观 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.1.1 绝对时空观 . . . . . . . . .
25、 . . . . . . . . . . . . . . . 27010.1.2 绝对时空观的困难 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27110.1.3 爱因斯坦的选择 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.1.4 洛伦兹变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.2 物理规律协变性的数学形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.2.1 物理量按时空变换性质分类 .
26、. . . . . . . . . . . . . . 27610.2.2 物理量的四维时空变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.2.3 物理规律的协变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27910.2.4 速度及四维速度矢量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.3 麦克斯韦方程的协变形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.3.1 电荷守恒定律四维电流矢量 . . . . . . . .
27、 . . . . . . 28310.3.2 电磁势方程的协变形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.3.3 电磁场张量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28610.4 电磁场的变换公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288参考书目 293第 一 章麦克斯韦方程组我 们 在 大 学 物 理 的 “ 电 磁 学 ” 部 分 已 经 学 习 了 许 多 电 磁 现 象 。 在那 里 的 数 学 语 言 比 较 简 单 ，
28、 比 如 ， 通 常 只 利 用 到 积 分 运 算 ， 不 涉 及 微 分 运算 。 在 电 动 力 学 中 ， 我 们 将 使 大 量 使 用 矢 量 微 分 运 算 等 较 为 复 杂 的 数学 工 具 。 本 章 中 ， 我 们 将 利 用 矢 量 运 算 的 语 言 简 要 回 顾 一 下Maxwell 方 程组，为以后章节中利用这组方程继续深入了解各种电磁现象打下基础。1.1 静电现象的基本理论描述1.1.1 库仑定律人 们 定 量 研 究 电 磁 现 象 是 从 库 仑 开 始 的 。1785 年 ， 库 仑 做 了 大 量 的 实验 ， 总 结 发 现 真 空 （ 空 气 ）
29、中 两 个 点 电 荷 （ 自 身 尺 寸 无 限 小 ） 之 间 的 作 用力满足F12=14 0q1q2r312 r12(1.1.1)其中q1,q2为两个点电荷所带的电量（单位为C ）， 0 8.85 10 12C2/N 12 CHAPTER 1. 麦克斯韦方程组 图 1.1m2为 真 空 介 电 常 数 ， r12= r1 r2为2 指 向1 的 矢 量 。1.1.1 式 是 由 大 量 实 验事实总结出来的数学表达式, 物理意义包含了： 牛顿第三定律F12= F21 向心力 平方反比 同性相斥、异性相吸1.1.2 叠加原理库 仑 定 律 是 针 对 一 对 点 电 荷 成 立 的 ，
30、若 同 时 存 在 多 个 点 电 荷 会 如 何呢 ？ 另 外 ， 自 然 界 存 在 的 带 电 体 大 多 数 为 连 续 带 电 体 ， 对 这 种 情 况 ， 静 电力 又 如 何 描 述 呢 ？ 实 验 发 现 ， 当 同 时 存 在 多 个 电 荷 时 ， 某 一 特 定 电 荷 所 受的作用力为其他所有电荷独立施与其上的作用力的线性叠加:Fi=14 0N i=jqiqjr3ij rij(1.1.2)这 个 原 理 的 核 心 在 于 ： 电 荷 之 间 的 相 互 作 用 为 两 体 相 互 作 用， 与 第 三 者 的存 在 与 否、 大 小、 正 负 号 都 没 有 关 系
31、 。 这 也 是 一 个 实 验 定 律 ， 被 大 量 实 验事 实 所 证 实 。 有 了 这 个 定 律 ， 我 们 可 以 非 常 容 易 地 计 算 连 续 带 电 体 之 间 的相互作用力。1.1. 静电现象的基本理论描述 3 ( ) 图 1.2考 虑 一 个 连 续 带 电 体 对 处 于 r 带 电 量 为q 的 力 。 将 连 续 带 电 体 分 成 许多 微 元 ， 其 中 一 个 为 处 于 r2= r 带 电 量 为q2= ( r ) 的 点 电 荷 。 这里 ( r ) = ( q/ ) r 0为 电 荷 密 度 ， 而 为 此 微 元 的 体 积 。 则 根 据 库
32、 仑定律以及线性叠加原理，整个带电体对的静电力为F =14 0 q ( r )d R3R (1.1.3)其中，R = r r 。（注：一般情况下我们把源所出的坐标用 r 标记，观察点的坐标用 r 标记，由源到观察点的矢量用R 来标记。 ）进 一 步 推 广 ， 当 有 两 个 连 续 带 电 体 ， 其 电 量 分 布 分 别 为 1, 2时 ， 带 电体1 受到带电体2 的总的静电力为F12=14 0 1( r ) 2( r )dd R3R (1.1.4)1.1.3 电场由1.1.3 可知 ， 对电 荷q 来说 ， 其所 受 的力 与 其 本身 的 电量 成 正比 。 这启发我们定义一个物理
33、量E( r ) =F( r )/q (1.1.5)这 个 新 的 物 理 量 与 放 在 这 个 位 置 的 电 荷 没 有 任 何 关 系 ， 而 只 与 空 间 其 他 电荷 在 此 地 产 生 的 效 果 有 关 。 这 个 量 被 称 为 电 场 。 电 场 的 引 入 ， 不 仅 方 便我 们 计 算 静 电 力 ， 更 重 要 的 是 给 了 我 们 一 个 静 电 相 互 作 用 的 新 的 图 像 。4 CHAPTER 1. 麦克斯韦方程组原来的电荷q1超距 = = 电荷q2新的电荷q1 电场 电荷q2这 个 图 像 与 原 有 的 超 距 相 互 作 用 的 图 像 是 不
34、一 样 的 ， 关 键 是 后 者 引 入了 作 为 作 用 力 中 介 而 存 在 的 电 场 。 在 静 电 范 畴 分 辨 不 出 这 两 种 图 像 的 区别 ， 但 当 所 有 物 理 量 随 时 间 变 化 时 ， 可 以 清 楚 地 看 到 第 二 种 图 像 是 正 确的 ， 而 第 一 种 是 不 正 确 的 。 电 场 象 所 有 其 他 物 质 一 样 ， 具 有 能 量 、 动 量等，是一种客观存在的物质。显然，一个连续带电体在空间产生的电场为E( r ) =14 0 ( r )dR3R (1.1.6)1.1.4 电场的散度性质- 高斯定理数 学 上 讲 ， 要 完 整
35、 了 解 一 个 矢 量 场 的 性 质 ， 我 们 需 知 道 这 个 场 的 散 度和 旋 度 两 方 面 的 性 质 。 换 言 之 ， 我 们 需 知 道 场 对 任 意 闭 合 曲 面 的 面 积 分 ，及 对 任 意 闭 合 曲 线 的 线 积 分 。 关 于 场 的 散 度 性 质 ， 我 们 需 知 道 对 于 任 何 闭合 曲 面 电 场 的 面 积 分 。 在 电 磁 学 中 我 们 知 道 E( r ) dS =Q/0。 证 明如下：我们先来看点电荷的情况：E =14 0qr2 er(1.1.7)1. 闭合曲面包含电荷E S =14 0qr2 S (1.1.8)=14 0
36、qr2 r2 (1.1.9)=q4 0 (1.1.10)1.1. 静电现象的基本理论描述 5+ 图 1.3则 E dS = q4 0d =q4 0 d =q 0(1.1.11) 图 1.46 CHAPTER 1. 麦克斯韦方程组图 1.52. 闭合曲面内不包含电荷 E dS = E dS1+ E dS2(1.1.12)=N i=1E( ri) Si+N j=1E( rj) Sj(1.1.13)= ii+( i) (1.1.14)= 0 (1.1.15)+ 图 1.63. 线性叠加原理1.1. 静电现象的基本理论描述 7+ 图 1.7 E dS = iqi 0= ( r ) d/ 0(1.1.1
37、6)此 即 为Gauss 定 理 的 数 学 表 达 形 式 。 利 用 数 学 中 矢 量 场 的 高 斯 定 理 ，我们可以把1.1.16 改写为 E dS = E( r ) d = ( r ) d/ 0(1.1.17)考虑到曲面的任意性，我们得 E( r ) = ( r )/ 0(1.1.18)上 式 为Gauss 定 理 的 微 分 表 达 式 。 从 几 何 上 理 解 ，Gauss 定 理 描 述 的是 场 线 在 空 间 的 分 布 是 否 存 在 奇 点 ， 当 散 度 为0 时 ， 场 线 在 此 处 连续 ， 而 散 度 不 为0 时 就 表 示 空 间 出 现 了 奇 点
38、 （ 或 导 致 场 线 汇 聚 、 或 导致发散）。直接对1.1.6 式中电场求散度，得 E( r ) =14 0 ( r )d( RR3) (1.1.19)对比1.1.18 与1.1.19 ，我们得到一个非常有用的公式 ( RR3) = 4 (R) (1.1.20)Tips ： 严 格 直 接 证 明 上 述 公 式 相 当 不 容 易 ， 很 多 时 候 把 它 当 作 已 知 的公式直接使用。你能否从数学上严格证明？自己尝试一下！8 CHAPTER 1. 麦克斯韦方程组1.1.5 静电场的旋度安培环路定理现 在 我 们 研 究 电 场 的 旋 度 性 质 E =? ， 这 等 价 于
39、研 究 静 电 场 对 任 意环路的线积分： E dl =? 。在电磁学中，我们通常的求解方法如下： 将电场对任意路径的积分分解为:1. 电场沿径向的积分2. 电场沿切向的积分 利 用 静 电 场 为 向 心 力 这 一 特 点 可 知 ， （2 ） 的 贡 献 为0 ， 只 需 考 虑（1 ）的贡献。 对任意环路， E dl 积分可以简化到一个径向的积分，因此其结果恒为0 。这 里 我 们 利 用 更 高 等 的 数 学 方 法 证 明 。 首 先 注 意 一 个 非 常 有 用 的 公式： r = r/r R =R/R (1.1.21)由此可以得到另一个恒等式: ( 1R) = RR2= 1R2RR= RR3(1.1.22)注 ： 此 处 用 到 分 部 微 分 公 式 ： f(r) =fr r, f(R) =fR R ， 其实 算 符 同 时 具 有 矢 量 性 和 微 分 性 ， 在 标 量 做 梯 度 运 算 时 只 显 示 微 分 性 ，因此常规的分部计算法可以大胆地使用。将上述恒等式带入场的定义：E( r ) =14 0 ( r )dR3R (1.1.23)
