1、3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第1课时二元一次不等式表示的平面区域,【知识提炼】1.二元一次不等式(1)定义：含有_个未知数，且未知数的次数是_的不等式.,两,1,(2)解集：满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对_构成的集合称为二元一次不等式的解集.它的几何意义是：可以看成直角坐标系内的点构成的集合.,(x，y),2.二元一次不等式表示的平面区域,Ax+By+C=0,虚线,不包括,Ax+By+C=0,实线,包括,Ax0+By0+C,【即时小测】1.思考下列问题(1)不等式2x-3y0是二元一次不等式吗
2、？提示：是，符合二元一次不等式的两个特征.,(2)平面区域的边界实线与虚线有何区别？提示：边界为实线时表示包括边界，对应的不等式含有等号；边界为虚线时表示不包括边界，对应的不等式不含等号.,2.下列给出的各式中，是二元一次不等式的是()(1)2xy.(2)2x3.(3)2x2-yx2.A.(1) B.(3)(4) C.(1)(5) D.(2)(6)【解析】选C.(1)(5)符合二元一次不等式的两个特征，(2)中只含有一个未知数，(3)(6)中的最高次数为二次，(4)是一个等式.,3.原点与点(-1，10)在直线x+y-1=0的_(填“同侧”或“两侧”).【解析】由0+0-10知原点与点(-1，
3、10)在直线x+y-1=0的两侧.答案：两侧,4.已知点A(2，1)，B(1，0)，C(-1，0)，则在不等式x-2y0表示的平面区域内的点是_.【解析】分别将点A(2，1)，B(1，0)，C(-1，0)，代入x-2y0中，只有点C(-1，0)的坐标适合，故点C在x-2y-,【知识探究】知识点1 二元一次不等式观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：二元一次不等式概念中包含几个限制条件？问题2：二元一次不等式的解集与平面内的点有关系吗？,【总结提升】1.对二元一次不等式概念的说明把握二元一次不等式的概念应从两个方面：一方面是“元”，即有两个未知数；另一方面是次数，即未知数的次数是一次.,2.
4、对二元一次不等式解集的说明二元一次不等式的解集是指满足此二元一次不等式的变量x和y的取值所构成的有序数对(x，y)的集合.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合.,知识点2 二元一次不等式表示的平面区域观察图形，回答下列问题：,问题1：平面内所有的点与已知直线有何关系？问题2：Ax+By+C0表示的平面区域与A，B有何关系？,【总结提升】1.平面内直线对平面区域的划分在平面直角坐标系中，平面内所有点被直线Ax+By+C=0分为三类：(1)在直线Ax+By+C=0上.(2)在直线Ax+By+C=0的上方的区域内.(3)在直线Ax+By+
5、C=0的下方的区域内.,2.Ax+By+C0(A0)表示的平面区域，此处不妨设C0表示的平面区域.,【解题探究】1.典例1中怎样检验点在给出的平面区域内？提示：可将点的坐标代入不等式中，验证是否成立即可.,2.典例2中常用哪些点来判断不等式表示的平面区域？提示：常利用原点.3.典例3中一般分哪几步作出不等式所表示的平面区域？提示：(1)作边界.(2)用特殊点定区域.(3)用阴影表示，注意边界实虚.,【解析】1.分别将点P1(0，1)，P2(-1，0)，P3(2，3)的坐标代入不等式x-2y+30中，点P1(0，1)，P2(-1，0)的坐标使不等式成立，故点P3不在此平面区域内，点P1，P2在此
6、平面区域内.答案：P1与P2,2.取原点O(0，0)，因为原点坐标满足3x+2y+60，所以不等式对应的区域应该是直线3x+2y+6=0位于包含原点一侧的部分(含边界)，故正确.答案：,3.先画直线2x+y-4=0(画成虚线).取原点(0，0)代入2x+y-4得20+0-4=-40表示的平面区域内，不等式2x+y-40表示的区域如图中的阴影部分.,【延伸探究】将典例3中的不等式中的“”改为“”，又怎样画平面区域呢？【解析】不等式2x+y-40表示的平面区域如图中的阴影部分：,【方法技巧】确定二元一次不等式表示平面区域的方法(1)直线定界.即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号
7、，把直线画成实线.,(2)特殊点定域.即在直线Ax+By+C=0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧区域，否则就表示直线的另一侧区域.特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C=0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点.,【变式训练】画出2x+5y10表示的平面区域.【解析】先作出边界2x+5y=10(画成实线)，取原点(0，0)，代入2x+5y-10.因为20+50-100，所以原点(0，0)不在2x+5y-100表示的平面区域内，不等式2x+5y10表示的平面区域如图中的阴影部分.,类型二 已知平面区域写出二元一次不等
8、式【典例】1.(2015昆明高二检测)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_.,2.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.,【解题探究】1.典例1中区域边界的直线方程是什么？提示：由截距式可得直线方程为 即y=- x+1.2.典例2(1)中阴影部分的两边界的直线方程应如何表示？提示：x=-2和x=2.,【解析】1.由截距式可得直线方程为 即y=- x+1.因为0- 0+1，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y- x+1，即x+2y-20表示.答案：x+2y-20.,(3)平面区域的边界线为实线，方程为 即x-y-2=0.因为原点(0，0)在平面区域中且满足不等式x-y
9、-20，所以平面区域满足的不等式是x-y-20.,【延伸探究】1.(变换条件)若将典例1中所示的平面区域(阴影部分)改为如图所示，试将所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示.,【解析】由截距式可得直线方程为 即y=- x+1.因为0- 0+1，原点不在阴影部分中，且边界是实线，故阴影部分可用不等式y- x+1，即x+2y-20表示.,2.(改变问法)若将典例1图中的阴影部分改为如图所示，则用不等式又如何表示呢？,【解析】由截距式可得直线方程为 =1，即2x+y-2=0，因为20+0-20且原点在阴影部分中，由于边界是虚线，故阴影部分可用不等式2x+y-20表示.,【方法技巧】用不等式表示平面区
10、域的步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程.(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程，判断不等号的方向.(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.,【补偿训练】如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来为_.,【解析】将原点(0，0)代入得0+40-4=-40，平面区域(阴影部分)不包含边界，故用不等式表示为x+4y-40.答案：x+4y-40,【延伸探究】1.(改变问法)将本题中的阴影部分变为如图所示，则该阴影部分用不等式表示为_.,【解析】将原点(0，0)代入得0+40-4=-40，而原点不在阴影部分中，平面区域(阴影部分)包含边界，故用不等式表示为x+4y-40.答案
11、：x+4y-40,2.(变换条件)若将本题中的平面区域(阴影部分)中的已知条件“x+4y-4=0”去掉，改为如图所示的阴影部分，则该阴影部分用不等式表示为_.,【解析】由截距式可得直线方程为 =1，即x+3y-3=0，由于0+30-30所表示的平面区域内，则a的取值范围为_.,【解题探究】1.典例1中由两点在直线的两侧会得到怎样的不等关系？提示：将点(-1，-2)和(0，3)的坐标代入x-2y+a中，所得符号不同.,2.典例2中的点M(a2，a)不在不等式x+2y-30所表示的平面区域内的含义是什么？提示：将点M(a2，a)的坐标代入x+2y-3中，可得a2+2a-30.,【解析】1.由于点(
12、-1，-2)和(0，3)在直线x-2y+a=0的两侧，所以(-1+4+a)(0-23+a)0，即(a+3)(a-6)0，解得-3a6.答案：-3a0所表示的平面区域内，即将点M(a2，a)的坐标代入x+2y-3中，可得a2+2a-30，解得-3a1.答案：-3a1,【延伸探究】若将典例1中的“两侧”改为“同侧”，又如何求解？【解析】由于点(-1，-2)和(0，3)在直线x-2y+a=0的同侧，所以(-1+4+a)(0-23+a)0，即(a+3)(a-6)0，解得a6.答案：a6,【方法技巧】平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)与直线Ax+By+C=0位置关系(不在直线上)的判断方法
13、(1)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax+By+C=0同侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.(2)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax+By+C=0异侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.,【变式训练】已知直线l：ax+by+c=0(a，b不同时为0，c0，因为c0，所以ax0+by0+c0，故点P到直线l的距离,【补偿训练】若点M(a，a2-1)不在不等式2x-y+20表示的平面区域内，则a的取值范围是_.【解析】由“点M(a，a2-1)不在不等式2x-y+20表示的平面区域内”，说明x=a，y=a2-1不是不等式2x-y+2”或“”，则边界直线要画成虚线.如本例不等号为“”，边界直线应画成实线.,2.巧用特殊点定侧判断不等式表示的平面区域在直线的哪一侧，通常将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定.例如本例中(0，0)代入不等式成立，说明原点所在的一侧为所求.,
