1、第2课时二元一次不等式组表示的平面区域,【知识提炼】1.二元一次不等式组的有关概念(1)定义：由几个_组成的不等式组.(2)二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成_，所有这样的_构成的集合称为二元一次不等式组的解集.,二元一次不等式,有序数对(x，y),有序数,对(x，y),2.二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的_，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.,交集,【即时小测】1.思考下列问题(1)每一个二元一次不等式组都能表示平面上一个区域吗？提示：不一定.当不等式组的解集为空集时，不等式组不表示任何图形.,(2)不等式组表示的平面区域有何特点？提
2、示：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分，可能是封闭的，也可能是开放的区域.,2.不等式组 表示的区域为D，点P1(0，-2)，P2(0，0)，则()A.P1D且P2DB.P1D且P2DC.P1D且P2DD.P1D且P2D,【解析】选C.将点P1，P2的坐标代入不等式组中的各不等式，可知点P1的坐标满足三个不等式，点P2的坐标不满足y0及x-y+40，不满足x-y+40，将(3，0)，(0，2)代入得2x+3y-6=0，将(0，0)代入上式得-60，代入x+2y+1，得10，代入2x+y+1，得10.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为,【延伸探究】将典例2中的图形
3、变为则用二元一次不等式组如何表示图中的阴影部分？,【解析】阴影区域边界的直线方程分别是x=0，y=0，y=2，2x-y+4=0.由阴影部分知点的横坐标小于等于零，且纵坐标在0和2之间，故x0，0y2，又把原点的坐标代入2x-y+4得其值大于0，故阴影部分满足不等式：2x-y+40，所以所求二元一次不等式组为,【方法技巧】画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤,【知识拓展】含有绝对值的不等式的平面区域的表示法(1)去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式.(2)一般采用分象限讨论去绝对值符号.(3)利用对称性可避免对绝对值的讨论.,(4)在方程f(x，y)=0或不等式f(
4、x，y)0中，若将x(或y)换成-x(或-y)，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就与原方程或不等式所表示的图形关于y(或x)轴对称.,【变式训练】画出不等式组所表示的平面区域.,【解析】先画出直线2x+y-4=0，由于含有等号，所以画成实线.取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0，0)，由于20+0-42y表示直线x=2y右下方的区域，不等式y0表示x轴及其上方的区域.,取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示,类型二 与二元一次不等式组表示的平面区域相关问题【典例】1.(2015重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且面积等于 ，则m的值为(
5、)A.-3B.1C.D.3,2.若不等式组 所表示的平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分，则实数m的值为_.3.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为_.,【解题探究】1.典例1中画不等式组表示平面区域的根据是什么？提示：首先根据表示的平面区域为三角形这一条件画出阴影部分，然后根据面积即可求出参数的值.2.典例2中的直线mx+y+2=0是否过定点？提示：直线过定点(0，-2).,3.典例3中要求所表示的平面区域面积的关键是什么？提示：关键是正确画出平面区域，再数形结合计算面积.,【解析】1.选B.根据题意画出不等式组表示的平面区域如图,由图可知A(1-m，1+m)，B
6、(2，0)，且A为直角.因为|AB|= |1+m|，|AC|= |1+m|，三角形ABC的面积S= |AB|AC|= |1+m|2= ，解得m=1或m=-3.当m=-3时，表示的平面区域不存在，所以m=1.,2.满足不等式组 的平面区域(阴影部分)如图所示：,直线mx+y+2=0恒经过点A(0，-2)，当直线mx+y+2=0经过BC的中点时，平面区域被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分.由题意知B(2，0)，C(0，-6)，则BC的中点为(1，-3)，代入直线方程mx+y+2=0得：m=1.答案：1,3.在平面直角坐标系中，作出x+y-2=0，x-y+2=0，和x=2三条直线，利用特殊点
7、(0，0)可知表示的平面区域如图阴影部分所示，其面积S=42 =4.答案：4,【延伸探究】1.(变换条件)典例2中，若将直线改为“x+my-2=0”，其他条件不变，求实数m的值.,【解析】满足不等式组 的平面区域(阴影部分)如图所示：,直线x+my-2=0恒过定点(2，0)，正好为图中阴影区域中的点B(2，0)，当直线x+my-2=0经过AC的中点时，平面区域被直线x+my-2=0分成面积相等的两部分，由题意知A(0，-2)，C(0，-6)，则AC的中点为(0，-4)，代入直线方程x+my-2=0得m=- .,2.(改变问法)将典例2中的“被直线mx+y+2=0分为面积相等的两部分”改为“被直
8、线x+y+2=0划分”，求此直线将平面区域分成两部分的面积比.,【解析】由x+y+2=0可得，直线过点(0，-2)，不等式组所表示的平面区域如图所示：,由 解得M(1，-3)，通过验证点M正好为点BC的中点，因此直线x+y+2=0将阴影区域分成了面积相等的两部分.故分成两部分的面积比为11.,【方法技巧】求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.(1)若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解.(2)若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解.,【补偿训练】不等式组 表示的平面区域的面积为_.,【解析】作出不
9、等式组 表示的平面区域，如图阴影所示.可以求得点A的坐标为 点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(8，-2)，所以ABC的面积是 答案：,【延伸探究】若本题中不等式所表示的平面区域的面积被直线3kx+3y-4k-4=0分为面积相等的两部分，求k的值.,【解析】直线3kx+3y-4k-4=0的方程可以化为k(3x-4)+3y-4=0，过定点 .正好是解析中区域三角形ABC的顶点A.因此只有直线过BC中点时，直线3kx+3y-4k-4=0能平分平面区域.因为B(-2，-2)，C(8，-2)，所以BC中点M(3，-2).将点M的坐标代入直线3kx+3y-4k-4=0，可得9k-6-4k-4=0，
10、所以k=2.,类型三 用二元一次不等式组表示实际问题【典例】1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则工人所满足的数学关系式是_.,2.甲、乙、丙三种药品中毒素A，B的含量及成本如下表：,某药品研究所想用x千克甲种药品，y千克乙种药品，z千克丙种药品配成100千克新药，并使新药含有毒素A不超过56000单位，毒素B不超过63000单位.用x，y表示新药的成本M(元)，并画出相应的平面区域.,【解题探究】1.典例1中的工人预算工资为2000元有什么含义？提示：其含义为工人的工资不能超过2000元.2.典例2中的“
11、z千克的丙种药品”如何用“x，y”表示？提示：由于“x+y+z=100”，则z=100-x-y.,【解析】1.由付给木工的总工资与付给瓦工的总工资之和不大于2000元，即得50x+40y2000元，又因为人数为整数，由此可得x，y满足的不等式组为答案：,2.由已知，得x+y+z=100，因为M=4x+9y+11z=4x+9y+11(100-x-y)=1100-7x-2y，又600x+700y+400(100-x-y)56000，800x+400y+500(100-x-y)63000，,于是满足以下条件：在直角坐标系中可表示成图中的平面区域(阴影部分).,【延伸探究】典例2中在条件不变的情况下，
12、求出相应的平面区域的面积.【解析】由已知条件可分别求出点A(50，20)，C(80，0)以及点 如图所示：故阴影部分的面积为：,【方法技巧】用平面区域来表示实际问题的基本方法(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示.(2)把问题中有关的量用这两个字母表示.(3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来.(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.,【变式训练】某人准备投资1200万兴办一所中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：,总共招生班数不多于30且不少于20，试用不等式组表示上述限制条件.【解析】设开设初中班x个，开设高中班
13、y个，由招生班数不多于30且不少于20，所以有20x+y30，,由所投资金1200万的限制，得到26x+54y+22x+23y1200.即x+2y40，另外开设的班数不能为负，则x0，y0得到：,【补偿训练】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：,该厂有工人200人，每天只能保证160千瓦时的用电额度，每天用煤不得超过150t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.,【解析】设该工厂每天分别生产甲、乙两种产品xt和yt，生产xt的甲产品和yt乙产品的用电量是(2x+8y)千瓦时，根据条件，有2x+8y160；用煤量为(3x+5y)t，根据条件，有3x+5y15
14、0；用工人数为(5x+2y)人，根据条件，有5x+2y200；另外，还有x0，y0.,综上所述，x，y应满足以下不等式组甲、乙两种产品的产量范围是这个不等式组表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界).,易错案例 画二元一次不等式组表示平面区域【典例】如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是边界的实虚没有把握准确，以及取点定侧时结果弄反.,【自我矫正】边界所在的直线方程为y=-2，x=0，2x-y+2=0，根据平面区域与边界的关系可知答案：,【防范措施】1.掌握用不等式组表示平面区域的方法求解此类问题时，要用前面学习的二元一次不等式表示的平面区域的方法来表示平面区域，一般采用“直线定界，取点定域”.如本例中取(0，0)确定出2x-y+20.,2.注意边界的实虚在用不等式表示区域时，要明确平面区域边界的实虚，从而对应的不等式中有无“=”，若是实线则不等式中含有“=”，若是虚线则不等式中不含有“=”.如本例中“y-2”.,
