1、第2课时等比数列的性质,【自主预习】主题:等比数列的性质1.已知等比数列an,首项为a1,公比为q,则该数列中第n项an与第m项am存在怎样的关系?,用符号语言描述:由an=a1qn-1,am=a1qm-1,故 所以an=amqn-m.,2.已知等比数列an的公比为q,若m+n=p+(m,n,p,N*)则它们对应的项存在怎样的关系?用文字语文描述:它们对应项的积相等.,用符号语言描述:aman=apa.aman=a1qm-1a1qn-1.= qm+n-2.apa=a1qp-1a1q-1= qp+-2.因为m+n-2=p+-2,故aman=apa.,3.观察下面几个等比数列中项的变化趋势,指出它
2、们的单调性.(1)-1, (2)9,3,1, (3)-1,-2,-4,-8,-16,(4)1, (5)2,2,2,2,2,提示:(1)项是增加的,且a10,01,是单调递减数列.(4)项是摆动的,a10,q0,q=1,是常数列.,1.等比数列的常用性质设等比数列an的公比为q,则(1)an=amqn-m(m,nN*).(2)若m+n=k+l(m,n,k,lN*),则_.,aman=akal,2.等比数列的单调性(1)当a10,_或a10,_时,an为递增数列.(2)当_,0q1或a11,0q0,q1,q=1,【深度思考】结合教材P51例4.你还能得出哪些结论?若an,bn(项数相同)是等比数列
3、,则an, 仍是等比数列.,【预习小测】1.在等比数列中,若a1a10=-6,则a4a7=()A.-6B.-2C.2D. 【解析】选A.由等比数列的性质知a4a7=a1a10=-6.,2.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=()A.10B.25C.50D.75【解析】选B.由等比数列的性质可得a7a12=a8a11= a9a10=5,故a8a9a10a11=52=25.,3.在等比数列an中,a6=6,a9=9,则q=_.【解析】因为a9=a6q3,所以q3= ,所以q= .答案:,4.若等比数列an中,a2a4= ,则a1 a5=_.【解析】由等比数列的性质知,a2
4、a4=a1a5= 所以 答案:,5.在等比数列an中,若公比q1,且a2a8=6,a4+a6=5,则 =_.【解析】因为a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,所以a4,a6是方程x2-5x+6=0的两个根,解得x1=2,x2=3,又q1,所以a4=2,a6=3,所以 答案:,6.已知数列an为等比数列,若a1+a2+a3=21, a1a2a3=216,求an.【解析】因为a1a2a3= =216,所以a2=6,所以a1a3=36,又a1+a3=21-a2=15,所以a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.,当a1=3时,q= =2,an=32n-1;当a1=12时,q= ,an
5、=12 .,【互动探究】1.对任意的等比数列an,若aman=apal(m,n,p,lN*),则m+n=p+l吗?提示:不一定相等,当数列an为常数列时,m+n与p+l不一定相等.,2.在等比数列an中,每隔k项(kN*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列是等比数列吗?提示:若an是等比数列,则am+nk(m,k为常数)仍是等比数列.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:(1)在等比数列an中距首末两项等距离的两项的积相等,即a1an=a2an-1=a3an-2=.(2)在等比数列an中,序号成等差数列的项仍成等比数列.,(3)在等比数列an中,连续取相邻k(kN*)项的和(或积)构成公比
6、为qk(或qk2)的等比数列.(4)an是等比数列,且an0,则logaan(a0且a1)是等差数列.,注意事项:等比数列性质应用的注意点(1)巧用性质,可以减少计算量.(2)利用性质m+n=p+qaman=apaq时要注意,只有序号之和相等时才能成立,且若aman=apaq不能得出m+n=p+q.,(3)特别地,若m+n=2p,则aman= .,【题型探究】类型一:利用等比数列的性质求解基本量【典例1】(1)若各项均为正数的等比数列an中,a5a9=3,a6a10=9,则a7a8=()A. B.2 C.4D.3,(2)(2016滨州高二检测)若an0,a5a6=9,求log3a1+ log3
7、a2+log3a10的值.,【解题指南】(1)由等比数列的性质得a7a8=a5a10=a6a9,从而得解.(2)由等比数列的性质得a5a6=a1a10=a4a7,从而进行求解.,【解析】(1)选D.因为数列an是各项均为正数的等比数列,则由等比数列的性质有a7a8=a5a10=a6a9,故a7a8=,(2)根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,所以a1a2a9a10=(a5a6)5=95,所以log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a9a10)=log395=5log39=10.,【规律总结】等比数列中基本量求解时的两种方法(1)方
8、程或方程组法:根据条件建立起关于a1,q的方程或方程组,通过解方程,求出a1,q,进而求出其余量.(2)数列性质法:利用性质整体求值,简化运算过程.巧妙地利用性质m+n=p+qaman=apaq和anam= (m+ n =2p,m,n,pN*)或an=amqn-m可以简化解题过程.,【巩固训练】在等比数列an中,a7a11=6,a4+a14=5,则 等于(),【解析】选C.因为a7a11=a4a14=6,又a4+a14=5,所以 所以 所以,【补偿训练】在等比数列an中,已知a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求n的值.,【解析】设等比数列an的公比为q,因为a4+a7=a3q+a6
9、q=(a3+a6)q,所以q= 因为a4+a7=18,所以a4(1+q3)=18,所以a4=16,所以an=a4qn-4=16 , 所以n-4=5,n=9.,类型二:等比数列性质的应用【典例2】已知数列an为等差数列,公差d0,由an中的部分项组成的数列 ,为等比数列,其中b1=1,b2=5,b3=17.求数列bn的通项公式.,【解题指南】根据 成等比数列,得出等差数列an的首项与公差的关系,从而求出数列 的通项,再根据 为等差数列an中的第bn项,求出数列bn的通项.,【解析】依题意 =a1a17,即(a1+4d)2= a1(a1+16d),所以a1d =2d2,因为d0,所以a1=2d,数
10、列 的公比q= 所以 =a13n-1,又 =a1+(bn-1)d= a1,由得a13n-1= a1.因为a1=2d0,所以bn=23n-1-1.,【延伸探究】1.(变换条件)典例2若加上条件a1=1,求数列an的通项公式.,【解析】依题意 =a1a17,即(1+4d)2=1+16d,即1+8d+16d2=1+16d,16d2=8d,因为d0,所以d= .所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1),2.(改变问法)典例2若条件不变,试判断a485是否为数列bn中的项.【解析】由bn=485,即23n-1-1=485,所以3n-1=243=35,所以n-1=5,即n=6.所以a485是数列bn中
11、的第6项.,【规律总结】等差、等比数列综合问题的解题方法与技巧(1)转化思想:将非等差(比)数列转化,构造新的等差(比)数列,以便于利用分式和性质解题.(2)注意等差(比)数列公式和性质的灵活应用.,(3)当题目中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系.,【巩固训练】已知数列an满足:a1+a2+an=n-an.(1)求证:数列an-1是等比数列.(2)令bn=(2-n)(an-1),求数列bn的最大项.,【解析】(1)当n=1时,a1=1-a1,所以a1= .由题意知a1+a2+an+an+1=n+1-an+1,即n-an+an+1=n+1-an+1,所以2an+1=1+an,所以an+1-1= (an-1),又a1-1=- ,所以数列an-1是首项为- ,公比为 的等比数列.,(2)由(1)知an-1= 所以bn=(2-n)(an-1)= 所以bn+1-bn= 当n0,即b13时,bn+1-bnb5b6,所以数列bn的最大项为b4=b3= .,
