1、第2课时解三角形的实际应用举例高度、角度问题,【题型探究】类型一:测量高度问题【典例1】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100m,BAC=60,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该仪器在C处时俯角为15,A地测得最高点H时的仰角为30,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340m/s),【解题指南】由声速可得AC和BC之间的关系,再结合已知A,B之间的距离,则可在ABC中求解得到AC的长,进而在ACH内由正弦定理求得CH.,【解析】由题意,设AC=x,则BC=x- 340
2、=x-40,在ABC中,由余弦定理得:BC2=BA2+AC2-2BAACcosBAC,即(x-40)2=1002+x2-100x,解得x=420.在ACH中,AC=420,CAH=30+15=45,AHC=90-30=60,由正弦定理得:所以CH=AC 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.,【规律总结】解决测量高度问题的一般步骤(1)根据已知条件画出示意图.(2)分析与问题有关的三角形.(3)运用正、余弦定理解相关的三角形.在解题过程中,要综合运用立体几何与平面几何的知识,注意方程思想的运用.,【巩固训练】某人在塔的正东C处沿着南偏西60的方向前进40m到D处以后,望见塔在东北方向.若沿途
3、测得塔的最大仰角为30,求塔的高度.,【解析】在BDC中,CD=40m,BCD=90-60=30,DBC=45+90=135.由正弦定理,得 所以BD=,在RtABE中,tanAEB= AB为定值,故要使AEB最大,需要BE最小,即BECD,这时AEB=30.在RtBED中,BDE=180-135-30=15,所以BE=BDsinBDE=,在RtABE中,AB=BEtanAEB= 即塔的高度为,类型二:测量角度问题【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶
4、,经过t小时小艇与,轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.,【解题指南】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.,【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/小时,如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.,由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AOABcosA.所以(vt)2=400+(30t)2-22030tcos(90-30),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0v30),当
5、0v30时,则=360000+1600(v2-900)=1600(v2-675),令=0,即1600(v2-675)=0,则 当0v 时,两船不会相遇;当 v30时,此时,当 时,令 则x0,15),当且仅当x=0,即v= 时,等号成立;当 时,同理可得 综上可得,当 v30时,当v=30时,可求得综合可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是 此时,在OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:小艇的航行方向是北偏东30,航行速度为30海里/小时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.,【延伸探究】本例中若小艇无最高航行速度限制,其他条件不变.问:(1)若希望相遇时小艇航行距离最小
6、,则小艇航行速度为多少?(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.,【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为S,则故当t= 时航行距离最小为 海里,此时 (海里/小时),即小艇以 海里/小时的速度航行,相遇时航行距离最小.,(2)设小艇航行速度的大小是v海里/小时,小艇与轮船在B处相遇如图,由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OAABcosOAB得,(vt)2=202+(30t)2-22030tcos(90-30),化简得由于0t 所以 2,故当 =2时,v取最小值即小艇航行速度的最小值为 海里/小时.,【规律总结】角度问题的解题思路(1)根据题意和图形及方向
7、角等概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需求哪些量.(2)从实际问题中抽象出一个或几个三角形,结合图形选择运用正弦定理,还是余弦定理.,【巩固训练】某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45,距离为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105的方向,以10海里/小时的速度向小岛B靠拢,我海军舰艇立即以 海里/小时的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.,【解析】如图所示,设所需时间为t小时,则AD= t, CD=10t,在ADC中,根据余弦定理,则有AD2=AC2+CD2-2ACCDcos120,可得( t)2=102+(10t)2-21010tcos120,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=- (舍去).,即舰艇需1小时靠近渔船,此时AD= ,CD=10,在ADC中,由正弦定理得 所以sinCAD= 所以CAD=30,所以舰艇航行的方位角为75.,
