1、1.1.2余弦定理,【自主预习】主题:余弦定理1.如图,设 那么向量c的平方是什么?表示为对应的边可以得到什么式子?,提示:c=b-a,|c|2=(b-a)(b-a)=bb+aa-2ab=a2+b2-2abcosC,所以c2=a2+b2-2abcosC.,2.利用1的结论思考下面的问题:(1)已知三角形的三边a,b,c,如何表示cosC.提示:由1知c2=a2+b2-2abcosC,故cosC=,(2)若C=90,1的结论还成立吗?如果成立写出该结论,若不成立说明理由.提示:若C=90,1的结论仍成立,即c2=a2+b2.,根据以上探究,归纳余弦定理的定义:,平方,平方,夹角,两倍,c2+a2
2、-2accosB,【深度思考】结合教材P6“?”处用坐标法如何证明余弦定理?,提示:如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),所以a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A,即a2=b2+c2-2bccosA.同理可证:b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.,【预习小测】1.在ABC中,已知 则A=()A.60B.30C.120D.150,【解析】选C.cosA= 又0A180,所以A=120.,2.若a,b,c为ABC的三边,B=120,则a2+c2+ac-b2的值()A.大
3、于0B.小于0C.等于0D.不确定,【解析】选C.cosB= 所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.,3.已知在ABC中,a=2,b=4,c=5,则cosA=_.【解析】cosA= 答案:,4.在ABC中,若三角形的三条边长分别为4,5,7,则这个三角形是_三角形.,【解析】边长为7的边所对角为最大角,不妨设为C,由余弦定理得cosC= 所以C为钝角,所以ABC为钝角三角形.答案:钝角,5.在ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c且cosA= ,若a=4,b+c=6且ba2+b2,则三角形一定是钝角三角形吗?若c2a2+b2,则三角形一定是钝角三角形
4、,因为c2a2+b2时cosC0,所以C为钝角;若c2a2+b2,则三角形不一定是锐角三角形,因为c不一定是最大的边.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:对余弦定理的理解(1)适用范围:对任意的三角形,三个等式都成立.(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)简单应用:每个等式都涉及三边和一个角四个元素,在等式中可做到知三求一.,(4)定理特例:当夹角为90时(如C=90),则c2=a2+b2.即余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.,【题型探究】类型一:利用余弦定理解三角形【典例1】(1)(2016全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 则b= (),
5、(2)(2016山东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=(),【解题指南】(1)利用余弦定理列出b的方程,解方程求b即可.(2)利用余弦定理,求出cosA,即可得出A的值.,【解析】(1)选D.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得( )2=b2+22-2b2cosA,即3b2-8b-3=0,解得b=- (舍)或b=3.,(2)选C.由题意1-sinA=所以sinA=1- 所以A=,【规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧(1)已知三角形的两边及夹角解三角形,可以先由余弦定理求出第三条边,再由正弦定理求出一角
6、,最后由A+B+C=180,求出第三个角.,(2)已知三角形的三边,可由余弦定理求三角形的两个内角,再由A+B+C=180求出第三个角.上述两种情况,运用余弦定理时,因为是已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理可知,三角形是确定的,因而解唯一.,【巩固训练】(1)(2015广东高考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2, 且bc,则b=(),(2)已知ABC的三边长为 解此三角形.,【解析】(1)选B.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以22=b2+(2 )2-2b即b2-6b+8=0,解得b=2或b=4.因为bc,所以b=2.,(2)
7、由余弦定理得:cosA= 所以A=60.所以B=45,所以C=180-A-B=75.,【补偿训练】(2017晋江高二检测)在ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则BAC=(),【解析】选D.由余弦定理得cosBAC= 因为0A,所以BAC=,类型二:判断三角形形状【典例2】(2016杭州高二检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-ab=c2且 判断ABC的形状.,【解题指南】由a2+b2-ab=c2利用余弦定理求出C,再由 利用正弦定理求B,最后由三角形内角和求A.,【解析】由a2+b2-ab=c2,得a2+b2-c2=ab,所以cosC= 所以C=又 所以
8、所以sinB= 所以B= 所以A=-B-C= 故该三角形为直角三角形.,【规律总结】三角形形状判断的技巧(1)若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理.(2)若式子中含有角的正弦或是边的一次式,则考虑用正弦定理.,【巩固训练】在ABC中,已知cos2 (a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断ABC的形状.,【解析】因为cos2 所以 所以cosA=由余弦定理,得 所以b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2,所以ABC是直角三角形.,【补偿训练】在ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,试判断ABC的形状.,【解题指南】将余弦定理的变形形式代入,转化成边的关系,
9、化简变形后判断三角形的形状.,【解析】由余弦定理,得 所以a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)=c2(a2+b2-c2),a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+b2c2=c2a2+b2c2-c4,即(a2-b2)2=c4,所以a2-b2=c2或a2-b2=-c2,即b2+c2=a2或a2+c2=b2.所以ABC是直角三角形.,类型三:正弦定理、余弦定理的综合应用【典例3】(2015江苏高考)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长.(2)求sin2C的值.,【解题指南】(1)利用余弦定理可求得BC的长.(2)先利用正弦定理求出sinC的值,再利用
10、余弦定理求出cosC的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C的值.,【解析】(1)在ABC中,由余弦定理可知,BC2= AC2+ AB2-2ACABcosA,即BC2=32+22-232cos60,解得,(2)由正弦定理可知, 即 解得 由余弦定理可得,cosC= 所以sin2C=2sinCcosC=,【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变,试求cosB的值.,【解析】由本例解析(1)知 故在ABC中由余弦定理得cosB=,2.(变换条件)若把本例中的A=60换为A=120,其他条件不变,则结果又是什么?,【解析】(1)在ABC中,由余弦定理可知,BC2=AC2+AB2-2ACABco
11、sA=32+22-232cos120,解得,(2)由正弦定理可知 即 解得sinC= 由余弦定理可得所以sin2C=2sinCcosC=,【规律总结】利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用思想方法(1)正弦定理和余弦定理从不同的侧面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正、余弦定理的结合,可相互渗透,相互促进,它们是解决三角形问题的主要依据.,(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题.,【补偿训练】如图,在四边形ABCD中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求BC的长.
12、,【解析】在ABD中,AD=10,AB=14,BDA=60,设BD=x,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosBDA,所以142=102+x2-210xcos60,即x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍),所以BD=16.因为ADCD,BDA=60,所以CDB=30,在BCD中由正弦定理得 所以BC=,拓展类型:利用正、余弦定理证明三角恒等式【典例】(1)在ABC中,求证:(2)在ABC中,求证:a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).,【解题指南】(1)从要证明的等式的左端出发,将切化弦,然后利用正、余弦定理即可证明该等式成立.(2)从要证明的等式的右端出发,利用余弦定理即可证明.,【证明】(1)左边= =右边,等式得证.,(2)右边=b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2=a2+b2+c2=左边.等式得证.,【规律总结】利用正、余弦定理证明三角恒等式的关键证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有左右;右左或左中右三种.,
